当前课程知识点：工程图学(基础篇) > 第2章 点、直线、平面的投影 > 2.13 换面法的应用 > 2.13 换面法的应用
同学们好
这一讲我们来学习
如何用换面法来解决工程中实际问题的方法
在工程中经常会遇到求实长
实形 夹角 距离等等一些实际问题
比如在电厂中有大量的管路系统
经常会遇到两个交叉管子之间的连接问题
在解决这类问题时
由于空间物体经常是处于投影面的一般位置
我们不能从投影上直接得到所需的真实形状
距离和夹角等等
这时候
就需要用换面法把它们转换成投影面的特殊位置
利用积聚性和实形性来求解
这就是换面法的实际应用
下边我们通过例题来讲解
例题1
求点C到直线AB的距离
并求垂足D
在这里我们首先要来进行空间和投影分析
这是解决问题的关键
也是解题的重点
通过空间分析我们可以确定解题的方向和目标
这样我们就可以通过换面法将几何元素
转换成有利于我们解题所需要位置进行求解
根据题意求C点到直线AB的距离
就是做CD与AB垂直相交
并且求垂线CD的实长
那么在什么情况下我们所求的CD才能显示实长呢
当直线AB垂直于投影面时
CD平行于投影面
投影反映实长
所以
我们只要将直线AB转换成投影面的垂直线
这时
与它垂直的CD就平行于新投影面
投影显示实长
这样我们就得到了C点到AB的距离
通过分析我们找到了解题的关键
是将直线AB转换成投影面垂直线
那么
怎样将一般位置直线AB转换成投影面垂直线呢
在前边学过的换面法四个基本问题中
我们知道将一般位置直线
转换成投影面的垂直线需要两次换面
要先换成平行线再换成垂直线
下边
我们来看作图过程
第一步
一次换面
先将一般位置直线变换成投影面平行线
在这里要注意新投影轴位置的确定
根据直线的投影特性
做X1轴平行于水平投影ab
再根据点的投影变换规律
分别求出直线AB与点C在新投影面P1上的投影
a1b1和c1
a1b1显示实长
在这里我们是在H面上做的新投影面P1
替换的是原有的V面
我们也可以在V面上做新投影替换掉H面
第二步
二次换面将平行线变换成投影面垂直线
这里也要注意新投影轴的位置确定
根据直线的投影特性
我们做X2轴垂直于a1b1
再利用点的投影规律求出AB
及C点在新投影面P2面上的投影a2b2及c2
这时a2b2积聚成点
并且d2点也一定在这个点上
连接c2d2
我们就得到了CD在 P2投影面上显示实长的投影
也就是我们所求的C点到AB的距离
接下来第三步
我们还要将CD的投影返回到原投影面中
在这里要注意
返回时我们要按照顺序依次返回
先返回到P1投影面
再返回到H面最后到V面
我们来看过程
先求出CD在P1投影面上的投影c1d1
这里的关键是如何确定d1点的位置
由于CD是P2投影面的平行线
所以CD在P1投影面中的投影c1d1一定平行于X2轴
我们过c1做X2轴的平行线与a1b1相交于d1
这样就得到了CD在P1面上的投影c1d1
接下来再根据点的投影规律依次求出水平投影
cd和正面投影c’d’
在投影返回过程中
我们要综合利用点的投影变换规律以及几何元素的投影特性
同学们要熟练掌握
我们来看下一个例题
例题2
求两交叉直线AB和CD间的最短距离MN
AB为水平线
在这里我们首先要来进行空间和投影分析
这是解决问题的关键
求AB和CD最短距离的问题
就是求它们的公垂线的长度
什么情况下才能得到公垂线实长的投影呢
就是当MN平行与投影面的时候才会显示实长
所以就要将MN转换成投影面平行线
而公垂线MN又垂直AB
那么
当直线AB垂直于投影面时
MN就一定平行于投影面
投影就显示实长了
并且根据直角定理
我们知道MN实长的投影与CD的同面投影一定垂直
通过分析我们找到了解题的关键
就是把AB直线转换成投影面的垂直线
题目中给出了AB是水平线
所以
将水平线AB转换成投影面垂直线一次换面就可以做到
下边来看做图过程
第一步
一次换面将水平线AB转换成投影面垂直线
在这里要注意新投影轴的位置如何确定
根据投影面垂直线的投影规律
X1轴一定垂直于AB的水平投影
所以我们做X1轴垂直于水平投影ab
再根据点的投影变换规律
求出AB在新投影面P1面上的投影a1b1
这时a1b1集聚成点
m1也在这个点上
再求出C点和D点的新投影c1
d1连接c1d1
接下来第二步
求出公垂线MN在P1投影面上的投影m1n1
根据前边的空间分析我们知道在P1投影面上
当a1b1集聚为点后
m1n1一定就是公垂线MN实长的投影
并且它与c1d1一定垂直
我们过m1点做c1d1的垂线交于n1
就得到了MN在P1面上的投影m1n1
第三步
就是要将公垂线MN的投影依次返回到原投影面中
根据点的投影变换规律
先求出N点的水平投影n点
那么M点的水平投影怎样确定呢
根据投影面平行线的投影规律
水平投影mn一定平行于X1轴
我们过n点做X1轴的平行线与ab交于m点
就得到水平投影mn
接下来再求出他们的正面投影n’m’
以上是求两条交叉位置直线间距离的方法
在这个例题中
我们是用P1面替换了V面
在电厂中
经常会遇到连接两个交叉管子的情况
这时我们就要求出他们之间的最短距离
这类工程问题
我们就可以转化为两条交叉直线求距离的问题
利用例题中的方法来解决
在工程中还经常会遇到求平面与平面夹角的问题
比如飞机驾驶舱平面玻璃挡风板之间的夹角问题
这类问题我们就可以转化为两个平面的夹角问题来解决
下面我们通过例题来讲解
求平面ABC和ABD的两面角
我们先来进行空间分析
由几何定理可知
两面角是两个平面同时与第三个平面垂直相交
所得的两条交线之间的夹角
那么
当两个平面同时垂直于一个投影面时
它们在这个投影面中积聚成直线
直线之间的夹角就是两个平面的两面角
但是
我们如何保证两个平面同时垂直于一个投影面呢
当两个平面的交线垂直于投影面时
两个平面就一定同时垂直于这个投影面
通过分析
我们找到了解题的关键
就是将两个平面的交线转换成投影面垂直线
下边我们来看作图过程
第一步
将两个平面的交线AB转换成投影面垂直线
由于AB是一般位置直线
根据直线在换面法中的基本问题
我们需要两次换面才能将AB转换成垂直线
一次换面先将AB转换成平行线
作X1轴平行于水平投影ab
接下来
根据点的投影变换规律分别求出各点在P1投影面上的投影
a1 b1 c1
d1连线就得到了两个平面的新投影
其中交线a1b1是实长
是P1投影面的平行线
接下来二次换面
将交线AB转换成垂直线
我们作X2轴垂直于a1b1
再求出各点在P2投影面上的投影
a2 b2 c2 d2
这时
在P2投影面上交线a2b2积聚成点
两个平面也同时都积聚成直线
他们之间的夹角θ角即为两个平面的两面角
这一讲
我们学习了利用换面法解决工程问题的方法
重点是如何利用空间和投影分析确定正确的解题目标和方向
然后利用换面法的四个基本问题选择正确解题方法
这一讲就到这里
同学们再见
-1.1 绪论
--1.1 绪论
--课后作业
-1.2 制图国家标准简介
--课后作业
-2.1 投影的基本知识
--课后作业
-2.2 点的投影
--2.2 点的投影
--课后作业
-2.3 直线的投影及直线上的点
--课后作业
-2.4 两直线的相对位置
--课后作业
-2.5 平面的表示方法及平面的投影
--课后作业
-2.6 平面上取直线及平面上取点
--课后作业
-2.7 相交问题：特殊情况
--课后作业
-2.8 相交问题：一般情况
--课后作业
-2.9 平行问题和垂直问题
--课后作业
-2.10 点的投影变换
--课后作业
-2.11 直线的投影变换
--课后作业
-2.12 平面的投影变换
--课后作业
-2.13 换面法的应用
--课后作业
-3.1 立体三视图的形成、规律及基本画法
--课后作业
-3.2 立体的分类与棱柱的三视图
--课后作业
-3.3 棱锥的三视图
--课后作业
-3.4 圆柱的三视图
--课后作业
-3.5 圆锥的三视图
--课后作业
-3.6 圆球的三视图
--课后作业
-3.7 圆环的三视图
--课后作业
-4.1 棱柱表面的截交线
--课后作业
-4.2 棱锥表面的截交线
--课后作业
-4.3 圆柱表面的截交线
--课后作业
-4.4 圆锥表面的截交线
--课后作业
-4.5 圆球表面的截交线
--课后作业
-4.6 圆环表面的截交线
--课后作业
-4.7 复合基本体表面的截交线
--课后作业
-4.8 平面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.9 平面基本体与曲面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.10 曲面基本体间的相贯线(一)
--课后作业
-4.11 曲面基本体间的相贯线(二)
--课后作业
-4.12 复合基本体中的相贯线
--课后作业
-5.1 组合体的组合方式和形体间的表面过渡关系
--课后作业
-5.2 形体分析法画组合体的三视图
--课后作业
-5.3 线面分析法画组合体的三视图
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-5.4 形体分析法读组合体的三视图
--课后作业
-5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
--5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
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-5.6 组合体读图的典型例题
--课后作业
-5.7 组合体的尺寸标注(一)
--课后作业
-5.8 组合体的尺寸标注(二)
--课后作业
-6.1 轴测图的基本知识
--课后作业
-6.2 轴测图的画法(一)
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-6.3 轴测图的画法(二)
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-7.1 机件的表达方法-视图
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-7.2 剖视图的基础知识
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-7.3 全剖视图和半剖视图
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-7.4 局部剖视图
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-7.5 剖切平面的种类及其适用条件
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-7.6 断面图和其它表达方法
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-期末考试
