2.7 相交问题：特殊情况在线视频

同学们好

前边我们学习了点

线

面的投影

以及两直线间的相对位置问题

接下来我们来学习

线与面以及两个平面间的相对位置问题

主要包括有

平行问题

相交问题和垂直问题

我们先来学习相交问题

包括有

直线与平面的相交问题

以及两个平面的相交问题

首先来看直线与平面的相交问题

直线与平面相交

一定会产生交点

并且交点是直线与平面的共有点

在这里我们主要讨论两个问题

一个是求直线与平面的交点问题

另一个是判断直线与平面之间的可见性的问题

求交点有两种方法

一种是利用积聚性求交点

也就是直线与平面两个元素中

至少有一个是处在特殊位置

投影有积聚性

可以利用积聚性可以直接求出交点

另一种方法是利用辅助平面法求交点

当直线和平面都处于一般位置

投影没有积聚性时

不能直接求出交点

需要利用辅助平面法

在这一讲

我们先来学习利用积聚性直接求交点的方法

它是特殊情况情况下的直线与平面相交问题

下面我们通过例题来分析

来看例题1

求直线MN与平面ABC的交点K

先进行空间和投影分析

从两面投影来看平面是一般位置

而直线MN是铅垂线

它的水平投影积聚为点

那么交点K在H面的投影

就一定与直线MN积聚为点的投影重合

所以K点的水平投影可以直接确定

下边来看作图过程

第一步

先求交点

根据分析

交点K的水平面投影就在mn积聚为点的投影上

可以直接确定

接下来求交点K的正面投影k’

我们可以利用面上取点的方法

先在平面上做直线

在水平投影中

过a点连接k点

并延长与bc交于d点

再求出AD的正面投影a’d’

这时a’d’与m’n’相交

这个交点就是交点K的正面投影k’

这样

我们就完成了求交点的问题

接下来第二步

就是要判断可见性

水平投影不需要判别可见性

但是正面投影中

MN与平面ABC有重合的部分

需要判别可见性

我们可以利用重影点来判断

选取正面投影中

m’n’与a’c’的一对重影点

求出这对重影点的水平投影1点和2点

从两点的水平投影可以看出1点在2点之前

所以可以判断

正面投影中1’可见2’不可见

这说明1点所在的AC边在直线MN的前方

所以k’2’这一段是被平面所遮盖的不可见

我们用虚线来表示

那么

过了交点K’后

k’m’这一端就可见了

我们用粗实线来表示

在这里要注意

交点是可见不可见的分界点

交点两侧的可见性是相反的

这一点我们在作图时要重点掌握

下边我们来看例题2

求直线MN与平面ABC的交点K

并判别可见性

我们来看

这个题跟例题1有什么不同呢

例题1中直线是特殊位置

投影有积聚性

而这个题中平面是特殊位置

投影集聚成直线

我们来看这个题应该怎样做

首先还是先做空间和投影分析

从图上看

直线MN是一般位置

平面ABC是铅垂面

它的水平投影积聚成一条直线

所以可以确定平面的积聚性投影

与MN的交点就是交点K

下面我们来看作图过程

第一步

先求交点

在水平投影中

ABC平面积聚成直线的投影与mn的交点

即为交点K的水平投影

由k点做X轴垂线与m’n’的交点

就是交点的正面投影k’

这样就完成了求交点的问题

接下来第二步

判断可见性

在正面投影中

直线与平面具有重合的区域

需要判断可见性

在例题1中

我们是利用重影点来判断的可见性

在这里可以不用重影点来判断吗

我们一起来分析

在水平投影中

由于平面ABC积聚为直线

在交点k的两侧

直线与平面的前后位置

是可以直接判断的

我们来看

在交点k的右侧

kn这一端在平面之前

所以在正面投影中k’n’这一端是可见的

用粗实线表示

过了交点k’的另一侧

k’m’为不可见

用虚线表示

这就是直观的判断方法

判断可见性的方法有两种

一种是利用重影点来判断

另一种是利用积聚性直观判断

在实际应用中同学们可以灵活运用

以上是特殊情况下直线与平面相的交问题

我们可以利用积聚性直接求出交点

下面我们来看平面与平面相交的问题

两平面相交其交线为直线

交线是两个平面的共有线

交线上的点是两个平面的共有点

在这里我们要讨论的问题有两个

第一个是求两个平面交线的问题

我们知道

只要求出交线的两个端点

就可以确定交线

这两个端点是两个平面的两个共有点

或者

求出一个共有点以及交线的方向

也可以确定出交线

第二个问题是

判别两个平面之间的可见性

我们先来看第一个问题

如何求交线

求两个平面交线的方法有两种

一种是利用积聚性直接求交线

前提是两个平面中

至少有一个平面处在特殊位置

投影具有积聚性

第二种方法是利用辅助平面法求交线

适用于两个平面都处于一般位置

投影没有积聚性

这种情况不能直接求出交线

在这一讲我们先来学习

利用积聚性直接求交线的方法

也就是至少有一个平面是特殊位置的情况

下边我们也通过例题来分析

来看例题3

求两个平面ABC与DEF的交线

并判断可见性

首先进行空间和投影分析

通过正面投影可以看出

平面ABC与DEF都积聚成直线

并且相交于一点

可以确定

两个平面的交线一定积聚在这一点上

是一条正垂线

交线的正面投影可以直接确定

我们来看作图过程

第一步

先求交线

交线的正面投影集聚成点

可以直接确定

根据投影规律

我们过m’n’做X轴垂线

与水平投影bc交于m点

与 ac交于n点

连接mn就得到了交线的水平投影

这样求交线的问题就完成了

接下来第二步

判断可见性

在水平投影中

两个平面的重叠区域存在相互遮挡的问题

需要判断可见性

由于两个平面的正面投影都积聚为直线

所以

可以利用正面投影直观地判断

在正面投影中

交线m’n’的左侧

平面ABC在DEF的上方

那么

可以判断在水平投影中

交线mn的左侧平面ABC是可见的

那么ab

bm

an都用粗实线连接

而平面DEF在这一部分

是不可见的用虚线连接

但是过了交线mn

在右侧ABC平面就不可见了用虚线连接

而DEF为可见了

用粗实线连接

这样我们就完成了两个平面的可见性判断

通过这个例题我们总结一下要点

两个平面的交线一定是可见的

并且

交线是可见与不可见的分界线

交线的两侧可见性相反

这一点同学们要注意

另外

在这个例题中

我们看到

在相交的两个平面中

平面ABC的两条边

AC和BC都与平面DEF相交

属于全交的情况

我们再来看一个例题

例题4求两平面ABC与DEF的交线

并判断可见性

先进行空间和投影分析

从图中可以看出平面DEF是正垂面

ABC为一般位置的平面

DEF的正面投影积聚成直线

因此

利用积聚性可以确定交线的正面投影

就在平面DEF的积聚性投影

与平面ABC的共有部分上

下边

来看作图过程

第一步

先求交线

在正面投影中DEF积聚成直线的投影与

a’b’交于m’与b’c’交于n’

根据线上找点的方法

求出M点N点的水平投影

m在ab边上

n点在bc边上

这里

要特别注意

水平投影中的n点

不在DEF平面内了

这说明N点不是两个平面的共有点

那么如何确定交线呢

我们来看

在水平投影中

交线的一个共有点m点是确定的

我们连接mn就可以确定出交线的方向

并且mn与de相交于k点

而k点就是两个平面的共有点

是交线上的点

再求出K点的正面投影k’

连接m’k’

我们就完成了求交线的问题

第二步

判断可见性

在水平投影中

平面ABC与DEF有重合的区域

需要判断可见性

我们可以按照前边例题的方法

利用重影点来判断

在这里就不详细分析了

我们重点来看正面投影的可见性

在正面投影中m’k’这一段

平面DEF是可见的

过了交线上的k’点后

k’n’这一段就为不可见了

用虚线连接

在这个例题中

两个相交的平面各有一条边与对方相交

属于互交的情况

这一讲的重点内容是

通过空间和投影分析

找出交点或交线的已知投影

利用积聚性求出交点和交线的方法

以及判断可见性的方法

同学们再见