当前课程知识点：工程图学(基础篇) > 第2章 点、直线、平面的投影 > 2.2 点的投影 > 2.2 点的投影
同学们好
这一讲我们来学习点的投影
由于任何形体都是由基本的点 线 面
这些几何元素所组成的
而点又是构成几何单元的最小的元素
所以我们需要先来研究点的投影
我们先来研究点在一个投影面上的投影
我们来看图
在这里大写的字母A
表示空间一个点
P平面是一个投影面
我们怎样得到空间A点在投影面P上的投影呢
根据上一讲学过的正投影法的原理
我们只要过空间点A向投影面P做垂直的投射线
它与投影面P的交点就是点A在P平面上的投影
再看第二个图
图中给出了B点在影面P上的投影b’
那么B点的空间位置能确定吗
我们过b’做投射线来反推B点的空间位置
这时会看到
在垂直于投影面P的投射线上会有无数个点
比如B1 B2 B3它们的投影都在同一个位置
所以说只有点的一个投影面上的投影
是不能确定点的空间位置的
那怎样才能确定点的空间位置呢
就是要采用多面投影
下边我们就来研究点在三面投影体系中的投影
在上一讲我们介绍过三投影面体系的建立
那么我们就在V面H面W面
所组成的三面投影体系里放上一个点A
我们用正投影的方法
过空间的点A向V面做垂线
就得到了点A的正面投影a’
再向H面做垂线就得到了点A的水平投影小a
再向W面做垂线
就得到了点A的侧面投影a
在这里要注意点的表示方法
空间点用大写字母表示
点的投影要用同名的小写字母来表示
为了区分三个投影面的投影
正面投影我们用小写字母加一撇
侧面投影加两撇
而水平投影就只用小写字母来表示
这样点的三面投影就形成了
我们现在看到的是立体图
我们还要把它展开成二维的投影图
根据上一讲我们学过的投影面的展开方法
我们将三个投影面展开在同一个平面上
然后把点的投影移过来
为了表达方便
我们把投影面的边框也去掉
这样就得到了一个二维的点的三面投影图
接下来我们通过进一步分析点的投影图
来研究点的投影规律
仔细观察会发现
空间点的任何一个投影都能够反映出点的两个坐标
比如水平投影小a
它反映了点的Y坐标和X坐标
而正面投影a’
它反映了点的X坐标和Z坐标
再来看侧面投影a”
它反映的是X坐标和Z坐标
所以我们会发现点的各面投影之间是有一定的关联的
正面投影a’和水平投影小a同时反应点的X坐标
所以我们会看到a’和小a的连线会与X轴垂直
我们再来看a’和a”
它们同时都反应点的Z坐标
所以a’和a”连线会与Z轴垂直
这就是点的一个投影规律
我们再来看点的投影和它的空间坐标的关系
从图上看
因为小a和a”都反映的是点的Y坐标
所以我们会看到
水平投影中小a到OX轴的距离
aax等于侧面投影中a”到OZ轴的距离a”az
这段距离就是点的Y坐标
它也反映出空间A点到V面的距离凸显
同样a’ax凸显等于a”ay
这段距离也就是点的Z坐标
它也反映出了空间A点到H面的距离
我们再看a’az凸显也等于aay
这段距离也就是点的X坐标
它反映出了空间A点到W面的距离
以上就是点在三面投影体系下的投影规律
点的这两个投影规律是我们做投影图的依据
是直线和平面投影的基础
同学们要重点掌握
下边我们通过例题来研究
如何根据点的两面投影求点的第三面投影
例题1
在题目中给了点的正面投影a’和水平投影小a
让我们来求它的侧面投影a”
应该怎样求呢
根据点的投影规律
我们知道点的侧面投影a”
和正面投影a’的连线应该垂直于OZ轴
并且a到OZ轴的距离应该等于小a到 OX轴的距离
那么我们就利用这个投影规律来做图
我们先过a’做垂直于Z轴的辅助线
点的侧面投影就一定在这条直线上
我们再来量取a”az等于aax的距离
要保证这两段距离相等
我们可以有两种方法来作图
一种是借助45°的角分线作为辅助线来做图
也就是通过原点o做一条45°的角分线
然后再过点的水平投影小a
向YH轴做垂线
并且延长到与45°线相交
再过这个交点向上做Yw轴的垂线
这样我们就得到了侧面图影a”
另一种作图方法是
可以直接利用圆规来测量
这两种方法都可以求出侧面投影a"
根据点的两个投影求第三面投影的方法我们要重点掌握
它是我们解决其他问题的基础
下边我们来看如果空间有两个点
我们怎样判断点与点之间的相对位置呢
两点的相对位置指的就是两个点在上下左右
以及前后的相对位置关系
我们知道点的投影是能够反映点的坐标的
所以在投影中
我们就可以通过X Y Z的坐标差
来确定两个点的相对位置
下边我们通过投影图来分析
在这个投影图中给出了点A和点B的三面投影
那我们来看一看在空间这两个点的相对位置是怎样的
我们要判断两点的左右位置
就要看X坐标
X坐标值越大
相对的位置在左
我们从A点和B点的正面投影
和水平投影的X坐标差来比较
可以看到A点的X坐标大
所以A点在左B点在右
如果判断前后位置
就要看Y坐标
这里要注意
由于在投影面展开的过程当中
H面是向下展开的
所以越是远离X轴的点它的Y坐标就越大
也就是在前
而W面是向后向右展开的
所以越是远离Z轴的点Y坐标越大
是在前的
我们来看A点和B点的水平投影和侧面投影
可以看出来B点Y坐标大所以在前
而A点在后
最后要判断两点的上下位置
就要看Z坐标
从正面投影和侧面投影的Z坐标来比较
点A的Z坐标比较大
所以点A是在点B上方的
经过分析
我们就确定了两个点的相对位置
B点在A点之前 之右 之下
接下来我们来分析重影点以及可见性的问题
重影点的概念是
当空间的两个点位于某一投影面的同一条投射线上时
它们在这个投影面上的投影就会重合为一点
这两个点就称为该投影面的重影点
我们观察这个投影图中A点和C点的三面投影
就会发现它们的X坐标是相同的
Y坐标也是相同的
但是它们的Z坐标不同
点A的Z坐标比点C的Z坐标大
也就是说点A在点C的正上方
这时a’c’正好在垂直于H面的同一条投射线上
所以两个点的水平投影小a小c是重合在一起的
它们是水平面内的重影点
对于重叠的两个点我们还要判断它们的可见性
其中点A在点C的正上方
所以在水平投影中
小a是优先可见的
而小c被遮挡住了是不可见的
不可见的点我们要加上括弧表示它不可见
这就是重影点以及可见性的判断方法
当两个点在投影面上重影时
它们的遮挡原则是前遮后 上遮下 左遮右
以上就是这一讲的主要内容
同学们再见
-1.1 绪论
--1.1 绪论
--课后作业
-1.2 制图国家标准简介
--课后作业
-2.1 投影的基本知识
--课后作业
-2.2 点的投影
--2.2 点的投影
--课后作业
-2.3 直线的投影及直线上的点
--课后作业
-2.4 两直线的相对位置
--课后作业
-2.5 平面的表示方法及平面的投影
--课后作业
-2.6 平面上取直线及平面上取点
--课后作业
-2.7 相交问题：特殊情况
--课后作业
-2.8 相交问题：一般情况
--课后作业
-2.9 平行问题和垂直问题
--课后作业
-2.10 点的投影变换
--课后作业
-2.11 直线的投影变换
--课后作业
-2.12 平面的投影变换
--课后作业
-2.13 换面法的应用
--课后作业
-3.1 立体三视图的形成、规律及基本画法
--课后作业
-3.2 立体的分类与棱柱的三视图
--课后作业
-3.3 棱锥的三视图
--课后作业
-3.4 圆柱的三视图
--课后作业
-3.5 圆锥的三视图
--课后作业
-3.6 圆球的三视图
--课后作业
-3.7 圆环的三视图
--课后作业
-4.1 棱柱表面的截交线
--课后作业
-4.2 棱锥表面的截交线
--课后作业
-4.3 圆柱表面的截交线
--课后作业
-4.4 圆锥表面的截交线
--课后作业
-4.5 圆球表面的截交线
--课后作业
-4.6 圆环表面的截交线
--课后作业
-4.7 复合基本体表面的截交线
--课后作业
-4.8 平面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.9 平面基本体与曲面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.10 曲面基本体间的相贯线(一)
--课后作业
-4.11 曲面基本体间的相贯线(二)
--课后作业
-4.12 复合基本体中的相贯线
--课后作业
-5.1 组合体的组合方式和形体间的表面过渡关系
--课后作业
-5.2 形体分析法画组合体的三视图
--课后作业
-5.3 线面分析法画组合体的三视图
--课后作业
-5.4 形体分析法读组合体的三视图
--课后作业
-5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
--5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
--课后作业
-5.6 组合体读图的典型例题
--课后作业
-5.7 组合体的尺寸标注(一)
--课后作业
-5.8 组合体的尺寸标注(二)
--课后作业
-6.1 轴测图的基本知识
--课后作业
-6.2 轴测图的画法(一)
--课后作业
-6.3 轴测图的画法(二)
--课后作业
-7.1 机件的表达方法-视图
--课后作业
-7.2 剖视图的基础知识
--课后作业
-7.3 全剖视图和半剖视图
--课后作业
-7.4 局部剖视图
--课后作业
-7.5 剖切平面的种类及其适用条件
--课后作业
-7.6 断面图和其它表达方法
--课后作业
-期末考试
