当前课程知识点：工程图学(基础篇) > 第2章 点、直线、平面的投影 > 2.9 平行问题和垂直问题 > 2.9 平行问题和垂直问题
同学们好
这一讲我们来讨论线面相对位置中的
平行问题和垂直问题
我们先来看平行问题
平行问题包括直线与平面的平行问题
和平面与平面的平行问题
下面我们先来研究
直线与平面的平行问题
在直线与平面平行的问题中
又分为一般情况和特殊情况两种
我们先来看一般情况
也就是直线与平面都是一般位置
如何判断直线与平面是否平行呢
由几何原理可知
如果一条直线平行于平面内的某一条直线
那么
这条直线与该平面平行
如图中
空间直线AB与平面P上的CD直线平行
则直线AB与平面P平行
下面我们通过例题来探讨
如何利用这个原理来做直线与平面平行
来看例题1
过M点作直线MN平行于平面ABC
我们先来进行空间的分析
如果没有其它要求
过平面外一点做直线与已知平面平行
可以做无数条
根据直线与平面平行的几何原理
我们只要通过M点做直线MN
与平面ABC内的某一条直线平行
就可以保证我们所做的直线与平面平行
下面我们来看作图的过程
首先在ABC平面内过A点
任意做一条面内直线
我们来做出它的两面投影
然后过M点的正面投影m’
做m’n’
平行于这条面内直线的正面投影
过m做mn
平行于这条面内直线的水平投影
这样做出的直线MN一定与平面ABC平行
像这样的直线可以做无数条
在这个例题的基础上我们再进一步
增加题目的要求
来看例题2
过点M作直线MN平行于V面和ABC平面
我们先来空间分析
根据题目要求
所做直线MN为正平线
并且要与平面ABC平行
那么MN就要与ABC上的正平线
平行才能满足题目的要求
因此我们需要
先在平面ABC上做出一条正平线
然后再过M点做一条直线
与面内的这条正平线平行
这样就可以满足题目的要求了
在这里就要利用到前边学过的
在面内取平行线的方法
下面
我们看作图过程
根据正平线的投影规律
正平线的水平投影应该平行于OX轴
所以我们先过水平投影a作
OX轴的平行线与bc相交于d点
然后在b’c’上求出这D点的正面投影d’
连接a’d’
这样
我们就做出了面内正平线的两面投影
然后
我们再做MN与AD平行
方法是
过M点的水平投影作mn平行于ad
再过正面投影m’做m’n’平行于a’d’
这样我们做的直线MN就满足题目的要求
接下来
我们来看特殊情况
也就是平面是特殊位置
是投影面垂直面的情况
当直线与投影面垂直面平行的时候
他们在平面所垂直的投影面上的投影
一定平行
也就是说
空间直线AB与铅垂面P平行的时候
它们在H面上的投影ab
与铅垂面P的积聚性投影一定平行
以上就是直线与平面的平行问题
接下来我们来研究平面
与平面的平行问题
两个平面平行的问题分为
一般情况和特殊情况两种
我们先来看一般情况
也就是一般位置的两个平面平行问题
根据两个平面平行的几何原理
我们知道两个平面平行的条件是
如果一个平面上的两条相交直线
对应平行于另一个平面上的两条相交直线
则这两个平面相互平行
根据这个几何条件
我们可以过平面外一点
做平面与已知平面平行
我们来看例题
过D点做平面与已知平面BAC平行
先来进行分析
根据两平面平行的几何原理
我们知道如果做平面与已知平面平行
就要保证所做平面内有两条相交直线
分别与已知平面上的两条相交直线对应平行
那么
我们过D点做直线DE与AB平行
就要保证正面投影d’e’
平行于a’b’
水平投影小d小e平行于小a小b
再做另一条直线DF与AC平行
也要保证正面投影 d’f’
平行于a’c’
水平投影小d小f平行小a小c
这样我们所做的两条相交直线所确定的
平面EDF与已知平面BAC一定平行
下面我们来看平行问题的特殊情况
也就是特殊位置平面的平行问题
当两个投影面垂直面相互平行时
它们具有积聚性的那组投影一定相互平行
从图中可以看出
空间平面P和Q是两个铅垂面
并且这两个平面相互平行
所以他们在H面上积聚成直线的
投影小p和小q互相平行
以上是有关两个平面平行的问题
接下来我们来讨论垂直问题
垂直问题包括
直线与平面的垂直以及平面与平面的垂直
其中
直线与平面的垂直问题
是两个平面垂直的基础
垂直问题包括特殊情况的垂直
和一般情况的垂直两种
在这里我们重点讨论特殊情况的垂直问题
我们先来看直线与平面垂直的特殊情况
也就是直线与投影面垂直面垂直
我们通过立体图来分析
平面P垂直于H面
是铅垂面
直线AB垂直于P平面
那么
直线AB就一定平行于H面
是水平线
它们的投影有这样的规律
水平投影中小a小b与P平面积聚成直线的投影垂直
并且AB的正面投影a’b’平行于OX轴
通过分析我们得出结论
与铅垂面垂直的直线一定是水平线
在图C中
直线AB垂直于正垂面Q
那么AB就平行于V面
是正平线
它们的投影有这样的规律
与正垂面垂直的直线一定是正平线
我们总结出在特殊情况中
直线与平面垂直的投影规律是
与投影面垂直面垂直的直线
一定平行于这个投影面
接下来
我们再来讨论两个平面垂直的问题
由几何原理可知
如果一个平面包含另一个平面的一条垂线
则两平面垂直
我们从立体图来分析
在图中平面P是一个铅垂面
直线AB垂直于P平面
所以AB是水平线
那么
我们包含AB做的平面Q就一定垂直于P平面
在投影图中
P平面的水平投影集聚成直线
是一个铅垂面
AB的水平投影小a小b垂直于p
正面投影a’b’平行于X轴
也就是说AB是垂直于P平面的水平线
那么
我们包含AB做一个铅垂面Q
则Q平面一定垂直于P平面
而且两个互相垂直的铅垂面
它们具有积聚性的水平投影互相垂直
在这里我们是包含直线
做了一个特殊位置平面铅垂面
在图C中
是根据两个平面垂直的条件
我们包含水平线AB
做了一条与AB相交的直线AC
那么
这两条相交直线确定的
平面BAC与P平面一定垂直
在这里
我们做的平面是一般位置平面
这一讲的重点内容有两个
一个是如何判断直线与平面
以及平面与平面是否平行
另一个是直线与平面垂直以及
两个平面垂直的几何原理和作图方法
这一讲就到这里
同学们再见
-1.1 绪论
--1.1 绪论
--课后作业
-1.2 制图国家标准简介
--课后作业
-2.1 投影的基本知识
--课后作业
-2.2 点的投影
--2.2 点的投影
--课后作业
-2.3 直线的投影及直线上的点
--课后作业
-2.4 两直线的相对位置
--课后作业
-2.5 平面的表示方法及平面的投影
--课后作业
-2.6 平面上取直线及平面上取点
--课后作业
-2.7 相交问题：特殊情况
--课后作业
-2.8 相交问题：一般情况
--课后作业
-2.9 平行问题和垂直问题
--课后作业
-2.10 点的投影变换
--课后作业
-2.11 直线的投影变换
--课后作业
-2.12 平面的投影变换
--课后作业
-2.13 换面法的应用
--课后作业
-3.1 立体三视图的形成、规律及基本画法
--课后作业
-3.2 立体的分类与棱柱的三视图
--课后作业
-3.3 棱锥的三视图
--课后作业
-3.4 圆柱的三视图
--课后作业
-3.5 圆锥的三视图
--课后作业
-3.6 圆球的三视图
--课后作业
-3.7 圆环的三视图
--课后作业
-4.1 棱柱表面的截交线
--课后作业
-4.2 棱锥表面的截交线
--课后作业
-4.3 圆柱表面的截交线
--课后作业
-4.4 圆锥表面的截交线
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-4.5 圆球表面的截交线
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-4.6 圆环表面的截交线
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-4.7 复合基本体表面的截交线
--课后作业
-4.8 平面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.9 平面基本体与曲面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.10 曲面基本体间的相贯线(一)
--课后作业
-4.11 曲面基本体间的相贯线(二)
--课后作业
-4.12 复合基本体中的相贯线
--课后作业
-5.1 组合体的组合方式和形体间的表面过渡关系
--课后作业
-5.2 形体分析法画组合体的三视图
--课后作业
-5.3 线面分析法画组合体的三视图
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-5.4 形体分析法读组合体的三视图
--课后作业
-5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
--5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
--课后作业
-5.6 组合体读图的典型例题
--课后作业
-5.7 组合体的尺寸标注(一)
--课后作业
-5.8 组合体的尺寸标注(二)
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-6.1 轴测图的基本知识
--课后作业
-6.2 轴测图的画法(一)
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-6.3 轴测图的画法(二)
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-7.1 机件的表达方法-视图
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-7.2 剖视图的基础知识
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-7.3 全剖视图和半剖视图
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-7.4 局部剖视图
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-7.5 剖切平面的种类及其适用条件
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-7.6 断面图和其它表达方法
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-期末考试
