4.1 棱柱表面的截交线在线视频

同学们好

从这节开始

将分为七个小节

讲解基本体表面截交线的相关内容

这一节为第四章第一节

主要讲述棱柱表面的截交线

下面请看两个立体

第一个立体

如图所示

已经不再是基本体了

可以看得出

这个立体

是一个多边形棱柱

被红色切面所切

再观察右侧给出的第二个立体

不难看出

一个基本体四棱柱

被两个切面所切

这两个立体都是基本体

被一个或两个平面

截去一部分后所得的立体

这两个立体都经过

切面切去立体一部分的过程

即截切的过程

切立体的切面称作截平面

截平面切过立体后

在立体表面会产生交线

这条交线即立体表面截交线

即截平面与立体表面的交线

当前 是两个形状不同的棱柱

被一个或两个截平面切去一部分后

所得的立体

若用三视图绘制这两个立体

首先要把截平面切在立体表面的截交线

绘制到基本体的三视图中

由于截平面为平面

而被切的立体表面也依然是平面

平面和平面之间相交

交线为直线

三视图中绘制直线

需要找出直线的两个端点

然后连线

这样的直线首尾相连

就是如图中所示的黄色截交线

既然截交线是截平面与立体表面的交线

那么 截交线就一定落在截平面上

同时也落在被切的基本体表面

画出基本体三视图后

再画出截交线在三视图上的投影

才有可能绘制出

新产生立体的三视图

下面通过两个例子

讲述绘制棱柱被截切后

所形成立体的三视图

同时给出棱柱表面截交线的求做步骤和方法

例一

根据所给立体

绘制对应的三视图

先就已知立体进行空间分析

观察所给立体

是工字型的十二棱柱

被红色截平面截切后所得

从立体图可知

红色截平面与十二棱柱的各棱线均有相交

产生的交点为截交线各直线的转折点

一共产生十二个交点

从上向下依次为

最高棱线上的A B点

第二层的四条棱线

从前向后分别会产生C D E F交点

往下第三层的四条棱线

被截切后也产生了四个交点

分别为G H M N点

最下层存在两条侧棱线

被截切后产生两个交点

分别为S K点

再者

截平面切过各侧棱面

在这十二个侧棱面上都产生了交线

从上向下分别为

最高侧棱面上的AB线

向下第二层

两个水平侧棱面上

分别产生CD线和EF线

向下第三层侧棱面上产生的交线为

GH线和MN线

最低侧棱面上的Sk线

还有最前 上下侧棱面上产生的交线为

AC线和GS线

同样最后面上下两侧棱面也被切

产生两条交线 分别为BF线和NK线

以上无论是从侧棱上的点连成截交线

还是直接求取侧棱面上的交线

形成截交线

都可得到截交线的投影

就按当前的位置放置立体

黄色箭头所示

为主视图投影方向

在此基础上

先绘制原来基本体十二棱柱的三视图

根据基本体三视图的绘制方法

符合三等关系和方位的对应关系

分别绘制十二棱柱的

左视图 主视图和俯视图

在当前主视图的投影方向上

红色截切面积聚成直线

切面的左右位置由立体具体尺寸确定

擦掉切面左侧棱柱部分

表示被切掉

这时形成被截切后立体的主视图

下面进行投影分析

即预先判断

截交线在三视图的投影结果

其中

十二棱柱表面截交线的主视投影

就在主视图截平面的积聚投影线上

因为截交线位于十二棱柱侧棱面

而侧棱面在左视图积聚到工字形外框上

截交线也即落到这条边框上

这样只需求出俯视截交线的投影

由于截平面是正垂面

截切出来的截交线的水平投影

与左视图工字型的形状类似

下面求俯视图的截交线

通过求棱上的交点 连截交线

在主视图切面积聚投影上

从最高棱线到最低棱线

依次取棱线上的交点投影

最高为a' b'

它们重影在一起

前面点是a'

后点为b'

它俩左视图投影落在各自积聚的棱线上

按照长对正规律

直接从主视图a'b'点画竖直投影连线

交俯视图的前后棱线于小a和小b点

在主视图第二层四条棱线上

又重影了四个棱上的交点 c' d' e' f'点

高平齐 在左视图对应棱线积聚投影上

有它们对应的投影点 c" d" e" f"

长对正 俯视图上就会有对应棱上的点

c，d，e，f点

在主视图第三层四条棱线上

也重影了四个棱上的交点g' h' m' n'点

以及主视图最下面棱上交点s' k'点

它们各点求做方法相同

这里不再赘述

这时求得十二个截交线的转折点

参照左视图各点的连接关系

把俯视的各投影点连接起来

依次为b a c d h g s k n m e f b 的连接顺序

然后

分析十二条侧棱线剩余投影

擦掉切去侧棱的投影

按可见性加深剩余各图线

这样所给立体三视图就画好了

例二

已知四棱柱被侧平面和正垂面所切

求作其它的俯视图和左视图

根据三视图的已知条件可知

主视图的投影方向为

立体图中黄色箭头指示方向

两个截平面在主视图上都积聚成直线

在完成被两个截切面切得立体的三视图之前

先进行空间分析

其中

红色侧平切面

和顶面的前后轮廓线相交于

空间A和B点

又向下切到右前和右后侧棱面上两个点

分别为D点和C点

而正垂的蓝色截平面也切过了

右前右后侧棱面上的D点和C点

所以

蓝色截平面的截交线和红色截平面的截交线

将相接于D点和C点

蓝色截平面向下还切过四棱柱的最前最后棱线

相交于M点和N点

继续向下切过最左侧棱线

相交于E点

另一方面

红色截平面切过四棱柱的顶面

为AB线

交右前 右后侧棱面为AD和BC线

而蓝色截平面

与四棱柱四个侧棱面均相交

分别与右前侧棱面相交于MD线

与右后侧棱面相交于CN线

与左前侧棱面相交于ME线

与左后侧棱面相交于NE线

这些线的连接点

是棱线和侧棱面上的表面点

在三视图中找到这些点的投影

进而把截交线连接起来

接下来分析空间截交线的投影结果

由于红色截平面为侧平面

所以切出来的截交线在主视图

和俯视图上均积聚成直线

而左视图上的投影为A B C D点连线而成的实形投影

另一个蓝色截平面为正垂面

它的截交线将在正面积聚成一条线段

水平投影和左视图上的侧面投影

将成为类似的五边形

无论红色截平面

还是蓝色截平面

切四棱柱侧棱面上的交线

在主视图中都会落在对应截切面的积聚直线上

那么两截平面截交线的主视投影已具备

两截平面切在侧棱面上的结交线

在俯视图上都积聚到四棱柱四边形轮廓上

红色截平面切在四棱柱顶面上的交线

将在俯视图上以实长的形式显现

这样只需把两个截平面的截交线左视投影求出来

下面依次求红色 蓝色截平面

截得的截交线的左视投影和俯视投影

求截交线上各直线段的连接点

把交线求出来

求表面交点之前

先补画出四棱棱柱的左视投影

接下来分析红色侧平 截平面

切在四棱柱表面上的各交点

切到顶面边上的两个点

在主视图的投影点重影到一处

为a'点和b'点

红色截平面切到下侧停止

为c'和d'点

这四个点在俯视图上都积聚到四边形的边上

两两重影

它们的左视图上的对应投影点

应符合宽相等和高平齐

这些点之间的连线

直线a"b"为顶面和截平面相交的交线

直线C"b"

直线a"d"

是截平面相交于右前侧棱面

和右后侧棱面上的交线

而红蓝截平面相交于CD线

所以连接c"d"直线

红色截交线的水平投影

就聚积到了a b c d的积聚投影之间

再看主视图上有积聚性的正垂截平面

上面落着蓝色截交线的主视投影

蓝色截交线俯视投影

全部积聚到俯视四边形的边上

在左视图上

只需要把蓝色截交线在侧棱上的交点求出

连线即可

主视图左棱上的交点为e'

高平齐作投影连线

到左视图中间位置的左棱线上找e"点

主视图前后棱上的交点为m'n'

并符合高平齐

到左视图轮廓对应棱上找m"和n"点

从左向右看

蓝色截交线在左视图上应可见

使用粗实线把c" n" e" m"和d"连接起来

红色截平面和蓝色截平面

切在四棱柱表面上的截交线已求出

然后分析剩余的基本体棱线

可见的画成粗实线

不可见的画成虚线

左视图中e"之下的为左棱剩余部分

m" n"之下的棱线还存在

从主视图看

四棱柱右侧棱线是完整的

所以在左视图上应把四棱柱的右侧棱画成虚线

好了

到此为止

棱柱表面的截交线的求做步骤和方法就介绍到这里

这一节

应理解截交线的概念

并熟练掌握截平面切侧棱线

切侧棱面的交点和交线的分析方法和作图方法

并且充分利用棱柱表面积聚投影和切面积聚投影

求做棱柱表面上的截交线

本节就到这里

下一节讲述棱锥表面的截交线

同学们

再见