4.5 圆球表面的截交线在线视频

同学们 好

这节讲第四章

第五节基本体表面截交线的第五种

圆球表面的截交线

截交线是在截平面截切圆球时

在圆球表面形成的交线

任意空间截平面截切圆球

虽然切在圆球表面的交线都是圆

但截平面空间位置不同

导致空间截交线圆

在三视图上的投影是有区别的

下面就来看

圆球表面截交线的投影类型

已知空间平面与圆球相交

截交线的空间形状都是圆

但是根据平面与投影面的相对位置不同

截交线圆的投影

会出现圆形 椭圆

或积聚成直线

请看左侧一组三视图及所配立体

在三视图上显示截切圆球的截平面为正平面

截切后产生在球面的交线圆就是正平圆

从主视方向看

正平圆的主视投影为实形圆

利用正平面的投影规律

这条截交线圆的俯视投影和左视投影

分别为一条积聚直线

这组三视图中

含了截交线投影的两种形式

一种是实形圆

一种是积聚的直线

再看右侧一组三视图及所配立体

根据三视图可知

截平面为空间正垂面

正垂截平面截切圆球

圆球表面截交线还是圆

但是由于截平面是正平面

所以截交圆为正垂圆

依据正垂面的投影规律可知

这条正垂圆的主视投影积聚为一条直线

如主视图所示

俯视投影和左视投影

以圆的类似形椭圆分别显现在两个视图上

当截交线圆的投影为积聚的直线时

按截切范围直接画直线即可

当截交线圆的投影为实形圆时

在视图上量取对应半径

画出实形圆周即可

而如果截交线圆的投影为椭圆时

又该怎么绘制这个投影椭圆呢

请看下面的例子

例一

在已知视图中

补画圆球体被截切后

立体的俯视图和左视图

首先空间分析

根据主视图可知

圆球被正垂的紫色截平面截切

切在圆球表面的截交线空间是圆

如右下方立体所示

由于这个圆在截平面上

所以这个圆为正垂圆

正垂圆的主视投影

就会积聚成这条紫色的线

它的水平投影和侧面投影

将是空间圆的类似形椭圆

接下来

在截交线圆的主视积聚投影上

取截交线上特殊点和一般点的投影

然后求出这些点的其他两视图的对应投影

最后在各视图上

连接投影点成椭圆交线的投影

先在主视的紫色截平面积聚投影线上

取截交线的最左点和最右点

分别命名为

1撇点和2撇点

两点落在正平大圆的轮廓上

利用正平大圆的水平投影落在轴线上

从主视图按长对正画竖直投影连线

于俯视图水平轴上找到1 2两点

类似的

符合高平齐

在球的左视图的竖直点划线上会得到1两撇点

和2撇点

空间1 2点

分别是截交线圆的最左点

最右点

也是最上点

和最下点

然后

在主视图上

过水平点划线和竖直点划线的交点

做紫色线的垂线

求出紫色直线的中点

这个中点处为截交圆正垂方向的直径

这条直径将成为截交线圆

在主视投影椭圆和左视投影椭圆的长轴

这条直径线的空间端点

是空间截交圆的最前最后点

命名为3点和4点

对应正面投影为3撇4撇点

两点主视投影产生重影

3撇点为截交线的最前点

4撇点为截交线的最后点

由于这两前后表面的点

是圆球的一般位置点

需要过点作辅助圆求点

所以过3撇4撇点做水平线

交大圆轮廓于小f撇点

这条水平线是过3 4点辅助圆的主视投影

以小f撇点到主视竖直点划线的距离为半径

然后在俯视图上画辅助圆的实形

符合长对正

在这条圆线上

对应得到水平投影3点和4点

再符合宽相等高平齐

得到左视图的3两撇点和4两撇点

主视图中

截交线的积聚投影上

位于1撇

2撇点

与3撇4撇点之间的位置

找一对5撇6撇点

求作空间5 6点俯视

和左视投影点的方法

和作3 4点的各投影点的方法相同

这样得了在俯视的5点和6点

以及左视的5两撇点和6两撇点

又主视图上的水平点划线上重影了水平大圆的投影

水平大圆和紫色正垂截交线的投影相交点

为主视投影点小a撇点和小b撇点

然后水平大圆线上找点

在俯视图水平大圆的实形轮廓上取得

小a点和小b点

再应用三等关系

可以把a两撇点和b两撇点求出来

这里不再做a两撇点和b两撇点

主视图竖直点划线上存在侧平大圆的正面投影

截交线落在侧平大圆上的点为小c撇和小d撇点

符合高平齐

在左视大圆轮廓上

即取得小c两撇点和小d两撇点

这里省略

空间C点的水平投影

然后光滑连接截交线上各俯视投影点

俯视投影方向

截交线投影可见

用粗实线表示

即得截交线的俯视投影

左视图上

把截交线上各点的左视投影点

光滑连接成可见的粗实线

这时三视图中紫色的椭圆线

就是空间

截交圆的俯视和左视的类似形投影

最后把剩余轮廓线补齐

主视图中

水平点划线处的水平大圆

从小a撇小b撇点向左被切除

只剩下右侧的水平大圆弧

在俯视图上

对应把小a小b向右的大圆轮廓加深成粗实线

主视图小c撇小d撇

向下的点划线上

落着切剩下的侧平大圆

所以左视侧平大圆

应从小c两撇儿点小d两撇点

向下加深

这样

被截切后的立体三视图画好了

这个求作结果的过程中

同时给出了截交线圆

投影为椭圆的投影求做方法

接下来

请看例二

例二

求做半球体被截切后

立体的俯视图和左视图

由主视图可知

半圆球被竖直两个红色截平面

和一个水平蓝色截平面截切

如立体图所示

蓝色箭头为主视图投影方向

这三个截平面在主视图上

同时积聚成直线

分别是两条竖直红色直线和一条蓝色直线

其中

水平蓝色截平面

在主视积聚成一条蓝色水平直线

切在半球表面为水平圆的一部分

假设蓝色水平截平面切通了圆球

切在圆球半圆轮廓右侧于一点

命名这点的主视投影为小m撇点

符合长对正投影关系

求出对应水平投影小m点

以俯视水平点划线和竖直点划线的交点为圆心

到水平投影小m点的距离为半径

可以画出蓝色截平面

切在半圆球表面截交圆线的水平实形投影

这条圆线的左视投影积聚为

水平横贯半球的蓝色直线

主视图上蓝色截平面的起始端为

投影小a撇点和小b撇点处

如立体图所示的A点

B点

以及终止处的小c撇点和小d撇点

如立体图中C点和D点

这四个点都是蓝色截交圆上的点

符合长对正投影规律

到俯视图的水平蓝色实形圆上

求得俯视投影点小a

小b

小c

小d的位置

擦掉小a

小b左侧蓝色圆弧

和小c小d右侧圆弧

保留前后两段圆弧

再者

主视图竖直两条红色截平面

截得的截交线

从半圆球最上轮廓延伸至小a撇b撇点

以及小c撇d撇点

因此对应俯视图上

红色竖直截交线的水平投影将积聚成小a

小b所连接的直线

以及小c点小d点间的直线

主视图显示的两个红色截平面

是侧平面

切在半圆球表面的截交线的左视投影

以实行圆弧呈现

圆的半径为

右侧红色竖直线

与半圆周的交点2撇点

如立体图所示的2点位置

到主视图下底面的水平直线之间的距离

再符合高平齐投影关系

对应左视图上蓝色水平积聚线上方

画红色截交圆的实形投影

这样就得到了三个截平面切在圆球表面的截交线

另一方面

蓝色水平截交线所确定的

空间面积的左视图投影中

红色圆弧圈定的中间一段

被左边球面实体遮挡

改用虚线表示

最后

把半圆球被切剩下的最大轮廓

在三视图中补齐

由于主视和俯视圆球的最大轮廓

已经具备

只需要分析左视图中的最大轮廓线

从主视图看

中间点划线处的

前后侧平半圆被水平蓝色切面切去上侧

保留了下侧部分

左视图蓝色截交线下侧的

半圆弧应加深成粗实线

好了

以上即为半球体被切后立体的三视图

通过以上作图过程可以总结为

如果截切圆球的截平面和投影面平行

对应截交线的各投影

或积聚成直线或量取半径画圆弧

圆球表面截交线这一节主要讲了

截交线投影为直线

截交线投影为圆

以及截交线投影为椭圆的作图方法

好了

本节结束

下一节将介绍圆环表面的截交线

同学们再见!