当前课程知识点：工程图学(基础篇) > 第2章 点、直线、平面的投影 > 2.10 点的投影变换 > 2.10 点的投影变换
同学们好
这一讲我们来学习如何利用换面法
改变几何元素与投影面的相对位置
来简便的解决空间问题的方法
这部分的主要内容有
换面法的概述
点的投影变换规律
直线和平面在换面法中的四个基本问题
以及换面法的应用
这次课我们先来讲换面法的概述以及点的投影变换
主要讨论以下三个问题
首先是问题的提出
也就是我们为什么要换面
换面的目的是什么
第二
如何选择新的投影面
选择新投影面的原则是什么
第三
就是点的投影变换规律
虽然点在换面后
投影还是点
没有变化
但是我们可以通过点来研究换面法的投影规律
它是换面法这部分内容的基础
下边我们先来讨论第一个问题
就是我们为什么要换面
在前边直线及平面投影的学习中
我们知道对于特殊位置直线
以及特殊位置平面
比如图中的投影面的平行线和投影面的平行面
它们的投影会显示直线的实长和平面的实形
而一般位置直线和一般位置平面
它的投影就不显示直线的实长和平面的实形
再来看这个图
左边的投影图中平面CDE
是一般位置平面
从投影上不能直接求出F点到平面CDE的真实距离
而右边的投影图中
平面CDE是投影面铅垂面
投影集聚成直线
这时就可以直接在投影图上
求出F点到平面CDE的真实距离
所以
在用图示法和图解法解决实际问题时
为了能够简便的解决空间问题
我们新建一个投影面代替原有的投影面
空间几何元素保持不动
我们改变投影面的位置
使空间几何元素和投影面之间保持平行或垂直
也就是处于有利于我们解题所需要的位置
然后将几何元素向新投影面做投影
这种方法我们称之为换面法
那么
新投影面如何选择呢
可以随意选择吗
下面我们就来分析新投影面选择的条件
从立体图中我们可以看出AB是一般位置直线
他在两个投影面上都不反应实长
如何求它的实长呢
我们可以通过换面法来求它的实长
这里
我们需要新增加一个投影面
怎么来选择新投影面呢
根据直线的投影特性
我们知道当直线是投影面的平行线的时候
才会反映实长
所以
如果让AB直线在新的投影面内反应实长
那么
AB必须要平行于新的投影面
这是新投影面要必须要满足的第一个原则
另外
新增加的投影面P
代替了原来的V面
那么
P面和H面就构成了一个新投影面体系
在这个投影面体系当中
两个投影面必须垂直
也就是P面垂直于H面
这就是新投影面需要满足的第二个原则
接下来
我们将直线AB向新投影面P做投影
直线AB在投影面P中的投影
我们用a1 b1表示
a1b1就反映了直线的真实长度
根据以上的分析
我们总结出选择新投影面的两个原则
一个是
新的投影面与空间几何元素
必须要处于有利于解题的特殊位置
第二
新投影面必须要垂直于原投影面体系当中的某一个投影面
构成相互垂直的投影面体系
同学们在解题过程中
在选择新投影面的时候
一定要掌握上面这两个原则
接下来
我们来讨论点的投影变换规律
因为点是最基本的几何元素
所以我们从最简单的点来介绍投影变换规律
点的投影变换规律是后面直线和平面投影变换的基础
我们先来介绍点的一次换面
我们看立体图
这是点在原有两投影面体系中的投影
我们在这个原投影面体系当中
如何增加一个新投影面呢
根据新投影面的选择原则
新增加的投影面必须要垂直于原来的某一个投影面
那么我们做一个与H面垂直的新投影面
新投影面用P1表示
P1面和H面的交线就是新的投影轴
我们用X1来表示
这样P1面和H面
就构成了一个新的直角投影体系
接下来
我们过空间A点向新投影面P1做垂线
就得到A点在P1投影面上的投影
新投影用a1表示
过a1向X1轴做垂线交于ax1
过水平投影a向X1轴做垂线也交于ax1
要注意
新投影面体系建立之后
三个投影面之间的关系
这里我们是用P1面代替了V面
H面是被保留的原投影
接下来
我们还要把立体图展开成平面的投影图
怎么展开呢
我们来看
在原投影面体系中
我们将V面保持不动
H面绕x轴翻转到和V面共面
新投影面P1面绕新投影轴X1轴
翻转到与H面共面
要注意
新投影面翻转后
必须使H面的投影a与P1面的投影a1
位于X1轴的两侧
这样我们就获得了展开后的投影图
根据点在原投影面体系当中的投影规律
点的正面投影a’和水平投影a的连线垂直于x 轴
并且
a’到x轴的距离
是空间点A到H面的距离
点的水平投影a到x轴的距离
等于空间点A到V面的距离
那么
在新投影面体系中
点的投影规律是不变的
a1与水平投影a的连线垂直于新投影轴X1轴
a1到X1轴的距离等于a’到X轴的距离
也等于空间点A到V面的距离
如果在投影图中
我们把相隔一跟轴的两面投影叫相邻投影
把相隔两根轴的两面投影叫相间投影
就可以总结出点的投影变换的规律有两点
第一点
点的相邻投影的连线垂直于轴
第二点
点的相间投影到轴的距离相等
下边我们来看作投影图的过程
第一步
我们先来做出新投影轴
新投影轴是新投影面P1与H面的交线
所以
要在H面上做新投影轴X1轴
在这里要注意
在点的投影变换中没有特殊要求可以任意做
第二步
根据点的投影变换规律
过a做X1轴的垂线
a1一定在这条直线上
但具体的位置怎样来定呢
根据点的相间投影到轴的距离相等
a1到X1轴的距离等于a’到OX轴的距离
所以
我们直接量取a’ax的距离等于a1ax1
这样我们就得到了点A在新投影面P1上的新投影a1
在这里
我们是用P1面替换了V面
我们也可以在V面上设新投影面来替换H面
作图的规律是不变的
在实际应用中可以根据情况来选择
以上就是这一讲的全部内容
其中点的投影变换规律是换面法的基础
是直线和平面投影变换的基础
也是我们这一讲的重点内容
同学们再见
-1.1 绪论
--1.1 绪论
--课后作业
-1.2 制图国家标准简介
--课后作业
-2.1 投影的基本知识
--课后作业
-2.2 点的投影
--2.2 点的投影
--课后作业
-2.3 直线的投影及直线上的点
--课后作业
-2.4 两直线的相对位置
--课后作业
-2.5 平面的表示方法及平面的投影
--课后作业
-2.6 平面上取直线及平面上取点
--课后作业
-2.7 相交问题：特殊情况
--课后作业
-2.8 相交问题：一般情况
--课后作业
-2.9 平行问题和垂直问题
--课后作业
-2.10 点的投影变换
--课后作业
-2.11 直线的投影变换
--课后作业
-2.12 平面的投影变换
--课后作业
-2.13 换面法的应用
--课后作业
-3.1 立体三视图的形成、规律及基本画法
--课后作业
-3.2 立体的分类与棱柱的三视图
--课后作业
-3.3 棱锥的三视图
--课后作业
-3.4 圆柱的三视图
--课后作业
-3.5 圆锥的三视图
--课后作业
-3.6 圆球的三视图
--课后作业
-3.7 圆环的三视图
--课后作业
-4.1 棱柱表面的截交线
--课后作业
-4.2 棱锥表面的截交线
--课后作业
-4.3 圆柱表面的截交线
--课后作业
-4.4 圆锥表面的截交线
--课后作业
-4.5 圆球表面的截交线
--课后作业
-4.6 圆环表面的截交线
--课后作业
-4.7 复合基本体表面的截交线
--课后作业
-4.8 平面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.9 平面基本体与曲面基本体间的相贯线
--课后作业
-4.10 曲面基本体间的相贯线(一)
--课后作业
-4.11 曲面基本体间的相贯线(二)
--课后作业
-4.12 复合基本体中的相贯线
--课后作业
-5.1 组合体的组合方式和形体间的表面过渡关系
--课后作业
-5.2 形体分析法画组合体的三视图
--课后作业
-5.3 线面分析法画组合体的三视图
--课后作业
-5.4 形体分析法读组合体的三视图
--课后作业
-5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
--5.5 线面分析法读组合体的三视图和根据两视图画第三视图
--课后作业
-5.6 组合体读图的典型例题
--课后作业
-5.7 组合体的尺寸标注(一)
--课后作业
-5.8 组合体的尺寸标注(二)
--课后作业
-6.1 轴测图的基本知识
--课后作业
-6.2 轴测图的画法(一)
--课后作业
-6.3 轴测图的画法(二)
--课后作业
-7.1 机件的表达方法-视图
--课后作业
-7.2 剖视图的基础知识
--课后作业
-7.3 全剖视图和半剖视图
--课后作业
-7.4 局部剖视图
--课后作业
-7.5 剖切平面的种类及其适用条件
--课后作业
-7.6 断面图和其它表达方法
--课后作业
-期末考试
