2.8 相交问题：一般情况在线视频

同学们好

上一讲我们学习了在相交问题中

如何利用积聚性

直接来求交点和交线的方法

这一讲我们重点来讨论

相交问题中如何用辅助平面法

求交点和交线的问题

我们先来看直线与平面相交的问题

在这里

主要讨论的是求交点的方法

和如何判断可见性的问题

当直线和平面都处于一般位置时

投影没有积聚性

它们的交点不能直接求出

这时

我们需要借助辅助平面法来求

先来分析辅助平面法的基本原理

在图中有平面ABC和直线MN相交

交点K为平面ABC与直线MN的共有点

为了求交点K

我们可以包含直线MN作一个辅助平面R

我们让这个辅助平面垂直于投影面H

是一个铅垂面

这样

平面ABC与辅助平面R一定相交

它们的交线就是Ⅰ Ⅱ

由于交线Ⅰ Ⅱ与直线MN都在辅助平面R上

所以

交线Ⅰ Ⅱ与直线MN共面

他们就一定相交

交点就是K点

这说明K点既在MN上

同时又在平面ABC上

是直线与平面的共有点

也就是他们的交点

通过原理的分析

我们知道在作图的过程中

第一步

就是要先做出一个辅助平面

这个辅助平面不能任意来做

要满足两个条件

第一

要包含已知直线来做平面

第二

辅助平面必须是特殊位置平面

目的就是要让辅助平面的投影

具有积聚性

第二步

就是求出辅助平面与已知平面的交线

第三步

求出这条交线与已知直线的交点

这个交点就是已知平面与已知直线的交点

下边我们通过例题来看具体的作图过程

来看例题1

求平面ABC和直线MN的交点K

并判断可见性

我们先来空间分析

根据投影规律

可以判断

直线MN与平面ABC都是一般位置

没有积聚性

那么它们的交点就不能直接求出

所以

我们需要利用辅助平面法来求他们的交点

下面来看作图过程

第一步

我们先包含直线MN做一个辅助平面R

这里我们选择的是正垂面

过 m’n’做直线

就是R平面的积聚性投影

我们用迹线来表示面平

正垂面的迹线用Rv来表示

第二步

求出辅助平面R与已知平面ABC的交线

由于R平面是正垂面

投影有积聚性

所以

我们可以直接确定交线上

两个端点的正面投影

1’和2’

再求出1点和2点的水平投影

连接1 2

就得到了辅助平面R与已知平面ABC的交线

第三步

求交线1 2

与已知直线MN的交点K

在水平投影中1 2与小m小n的交点

就是交点K的水平投影

再通过小k求出正面投影k’

这样我们就求出了直线MN

与平面ABC的交点K点的两面投影

这样

我们就完成了求交点的问题

接下来第四步

就是判断可见性

直线MN的V面投影和H面投影

都有被平面ABC遮挡的情况

都需要断可见性

由于直线与平面都没有积聚性

所以不能直观判断

我们要利用重影点来判

我们先来判断水平投影的可见性问题

在水平投影中取MN与AC边的一对重影点

过这对重影点做X轴垂线

与a’c’交于3’

与m’n’交于4’

很显然

4点在上

3点在下

说明

4点所在的直线MN

在MK这一段是在AC边的上方

在水平投影中是可见的

我们用粗实线连接km这一段

而过了交点k

KN这一段就不可见了

我们用虚线连接kn

接下来

用同样的方法来判断正面投影中的遮挡关系

我们在正面投影中取m’n’与a’c’的重影点

过这对重影点做X轴垂线

在水平投影中

与ac交于2点

与mn交于5点

很显然

2点在前 5点在后

说明2点所在的AC边

在正面投影中是在KN这一段的前方

那么

KN这一段就不可见

不可见我们用虚线连接k’n’

而过了交点k’

k’m’这一段就为可见了

可见

我们就用粗实线连接k’m’

这样就完成了可见性的判断

以上是利用辅助平面法求一般位置直线与

平面交点的方法

它也是一般情况下平面与平面相交求交线的基础

下边

我们就来讨论用辅助平面法求一般情况下

平面与平面相交的交线问题

我们也通过例题来讨论

来看例题2

求平面ABC与DEF的交线

先来空间分析

从投影图中可以判断

平面ABC与DEF都是一般位置

没有积聚性

它们的交线不能利用积聚性直接求出

我们也需要利用辅助平面法来求他们的交线

由于交线是两个平面的共有线

我们只要求出两个平面上的两个共有点

就可以求出交线

我们可以利用例题1中的线面相交求交点的方法

解题思路是

先在一个平面内取一条直线

然后求出这条直线与另一个平面的交点

这个交点就是两个平面的一个共有点

按同样的方法

我们可以再求出一个共有点

有了两个共有点

两个平面的交线就可以确定了

下边我们看作图的过程

第一步

先求DF边与平面ABC的交点

根据例题1中利用辅助平面法

求直线与平面交点的方法

我们包含直线DF的正面投影d’f’

做一个正垂面P来作为辅助平面

它的积聚性投影用Pv表示

Pv与平面ABC交于MN

MN的正面投影m’n’就在Pv上

接下来我们再求出MN的水平投影

可以看出

水平投影中mn与df的交点

就是两个平面的一个共有点

我们用G来表示

同时求出G点的正面投影g’

接下来

我们再次用辅助平面法求EF边

与平面ABC的交点

我们包含直线EF的正面投影

e’f’做一个正垂面Q来作为辅助平面

它的积聚性投影用Qv表示

Qv与平面ABC交线的正面投影

s’t’可以直接得到

再求出ST的水平投影st

连接st与ef的交点就是K点的水平投影k

同时求出正面投影k’

这样我们就求出了两个相交平面的两个共有点

G点和K点

第二步

连接这两个共有点G点和K点的同名投影

我们就求出了平面ABC与平面DEF的交线

这样我们就完成了求交线的问题

接下来第三步

就是利用重影点判断可见性

由于相交的两个平面在V面和H面投影中

都有重叠相互遮挡的部分

所以两面投影都要判断可见性

我们先来判断水平投影的可见性

在水平投影中选择AC边与DF边的一对重影点

求出这对重影点的正面投影1’和2’

很显然

2点在上1点在下

因此

2点所在的DF边在水平投影中可见

我们用粗实线连接gd这一段

而AC不可见

我们用虚线连接ac的这一段

那么过了g点后gf这一段就不可见了

用虚线连接

根据同样的方法我们可以判断出水平投影中

两个平面其他轮廓线的可见性

接下来

来判断正面投影可见性

我们取正面投影中a’c’与e’f’上的一对重影点来判断

求出这对重影点的水平投影3点和t点

很显然

t点在前

3点在后

所以 在正面投影中T点所在边AC在前可见

用粗实线连接a’c’

而3点所在的EF边

在这段区域不可见

用虚线连接k’t’这一段

过了交线上的k’点后

k’s’这一段就为可见了

用粗实线连接k’s’

同样的方法

我们可以判断出

正面投影中相交的两平面之间其他轮廓线的可见性

这一讲的重点内容就是利用辅助平面法

求处于一般位置的直线与平面相交的交点

以及两个一般位置平面相交的交线的基本方法

同学们再见