4.4 圆锥表面的截交线在线视频

同学们 好

这节讲第四章

第四节基本体表面截交线的第四种

圆锥表面的截交线

先看圆锥表面截交线的类型

根据截平面与圆锥轴线的位置关系

可以把圆锥表面截交线的形式分成如下五种

第一种

当截平面与圆锥轴线垂直

切圆锥表面时

在圆锥表面形成的截交线为

与底面圆平行的小圆

第二种

截平面过锥顶截切圆锥

在圆锥表面形成的交线为两条直线

这两条直线即为圆锥表面的两条素线

第三种

截平面倾斜于圆锥轴线

切圆锥表面

形成的截交线为空间椭圆

第四种

截平面平行圆锥轮廓线切圆锥表面

在圆锥表面形成的交线为一条抛物线

第五种

截平面平行圆锥轴线切圆锥表面

在圆锥表面形成的线为双曲线的一支

比较以上五种情况的截交线可知

如果截交线是圆或直线时可直接画出这类交线投影

如果截交线为椭圆

抛物线和双曲线

在截平面不积聚的投影上

这些曲线的投影用圆规无法画出

需要在对应截交曲线上取出若干截交线上的点

求出交线上点的投影

连接形成这条截交曲线的对应投影

具体作图方法

请看下面的两个例子

例一

完成圆锥被正垂面截切后所得立体的三视图

首先

空间分析

已知主视图上

红色线为正垂截平面的积聚投影

根据正垂面积聚投影和轴线的相互位置关系

可知

红色截平面和圆锥轴线倾斜

切在圆锥表面的截交线为空间椭圆

如右侧立体图所示

下面画被截切后立体的三视图

首先补出圆锥基本体的第三视图左视图

然后在圆锥三视图上求取截交线的三视投影

由于截交线是切面切圆锥表面所得

截交线的就应落在切面上

切面的主视投影

为积聚的一条线

这条红色积聚线上就包含了空间椭圆的主视投影

而空间椭圆的水平投影和侧面投影都是椭圆

为非圆曲线

须取出线上的若干点的投影后

再求截交线

另一方面

截交线属于被切立体表面

截交线上的若干点应在被切立体表面上求得

先找截交线位于转向素线上的特殊点

在主视图

红色截交线最右最高的投影点为a撇点

是圆锥最右轮廓素线的大A点

按照长对正

在俯视图的水平轴线对应小a点

再高平齐

在左视图竖直轴线对应小a两撇点

以上按照三视图投影规律进行

主视圆锥的左轮廓线上存在小b两撇点

是截交线的最左最下点B点的主视投影点

它的俯视和左视对应点与A点求取方法相同

此处不再详述

于是得大B点的水平投影小b点

和左视小b两撇点

主视图

截交线红色投影线和竖直点划线的相交处

是圆锥前后转向轮廓上的

截切点C和D的主视投影点

小c撇点和小d撇点

符合高平齐投影规律

到左视图最外视图轮廓上

即得到对应的小c两撇点和小d两撇点

再符合长对正

宽相等到俯视图得出小c点和小d点

再者

空间截交线椭圆短轴的主视投影

位于主视红色线长轴投影的中点处

取出截交点小e撇点和小f撇点

两投影点重合

由于空间这两点

位于圆锥表面一般位置上

只能通过做辅助线求这两点

过e撇f撇点作水平辅助线

交圆锥的右轮廓于m撇点

量取m撇点到竖直轴线之间的距离为半径

到俯视图对应出的水平辅助圆

按长对正在俯视图的辅助圆上找到小e点和小f点

再符合高平齐

宽相等

得出对应的空间大E点和大F点的左视投影

小e两撇点和小f两撇点

如果相对准确的绘制椭圆投影

应继续多取一些截交线上的点

继续补充中间点

在大A和大C

大D之间

补充

截交线上的点

即主视图小a撇与小c撇小d撇之间补充截交点

这些空间点对应的投影

具体求作方法与

大E点和大F点的俯视投影和左视投影相同

同样在大E点

大F点与大B点之间补充四个中间点

然后判断截交线的可见性光滑连接各点

从上向下俯视投影方向看

对截交线进行投影

截交线的俯视投影可见

用粗实线连接成光滑的一条曲线

又从左视方向对截交性进行投影

截交线的左视投影可见

用粗实线把各点的左视投影光滑连接起来

最后分析俯视图和左视图中

最大轮廓线的投影

作为俯视图最大轮廓底圆

没有被切走

所以保留底圆的粗实线

再分析左视图的圆锥最外轮廓直线

由于从主视显示小c撇小d撇

向上的前后轮廓线被切去

所以从左视图

小c两撇和小d两撇向下的轮廓素

应加深为粗实线

并且仍保留底圆的左视投影

这样就形成了

圆锥被正垂面截切后立体的三视图

需要强调的是

求作截交线的投影为非圆曲线时

需要在交线上分别取特殊位置点

和中间的一般位置点

把这些点光滑连接起来

就得到非圆曲线截交线的投影

下面看第二个例子

例二

绘制圆锥被切后立体的俯视图和主视图

首先

空间分析

在主视图中

从上向下过锥顶紫色正垂切面

切圆锥表面

为两条直线

即过锥顶的素线的一部分

这两条直线相交组成的面

是正垂面

水平投影和侧面投影将以类似形显现

第二个为水平方向蓝色截平面

垂直圆锥轴线

截切圆锥表面产生的交线为圆的一部分

两段前后圆弧所组成的面为水平面

左视投影将积聚成一条水平线

俯视投影为实形

第三个是侧平绿色截平面

平行于圆锥轴线

截切圆锥表面产生的交线是双曲线的一部分

这条侧平双曲线的俯视投影

积聚成一条前后方向的直线

左视图上的投影为实形

分析结果如右下角立体图所示

下面从圆锥三视图

到圆锥表面截交线

最后形成被切后立体的三视图

这样逐次绘制

先补画基本体圆锥的左视图

最高点为锥顶

用大S表示

三个视图上分别是小s撇点

小s点

和小s两撇

过锥顶截切圆锥

所得截交线的终止点为空间大A点

大B点

如立体图所示

主视图上这两个点投影重合

为小a撇和小b撇

空间A B两点位于圆锥一般位置

通过平行底面圆的辅助圆

求这两点的俯视投影

过小a撇b撇作水平线

交竖直回转轴和圆锥右轮廓于两点

这两点间的距离

为过大A大B点水平辅助圆的半径

画这个辅助圆的俯视投影

从主视图到俯视图符合长对正

到俯视辅助圆周上得到小a点和小b点

进一步高平齐

宽相等

求得左视投影小a两撇点和小b两撇点

在俯视图和左视图中

把AB的水平投影和s点连接

锥顶的左视投影和A点

B点的左视投影连接

从俯视图方向投影

或左视图方向投影

锥顶和A B点连线的投影都可见

所以用粗实线绘制

大A大B之间的连线

为过锥顶截平面和垂直轴线截平面的交线

相交线AB在俯视投影

被上面实体遮挡为不可见的虚线

相交线AB的左视投影

被水平截平面左侧面积遮挡也为不可见

用虚线连接

过锥顶截切圆锥后形成的面就表示出来了

水平截平面切圆锥表面为部分圆弧

这个圆弧恰好属于大AB的辅助圆一部分

圆弧的右端点终止于大A B点

左端点终止于大CD点

如立体图所示

符合长对正关系

在俯视图

在AB的辅助圆上找到小c小d点

把水平截平面切出来的部分圆弧的水平投影

从小b点连到小d点

从小a点连到小c点

把小c和小d连接

成为平行圆锥轴线的

绿色截平面和水平截平面的交线

从俯视图方向投影可见

连接为粗实线

这就表达了这时垂直圆锥轴线的截平面

切在圆锥表面截交线所围成的面的水平投影

水平截平面在圆锥表面的截交线

确定了一个面

这个面的左视投影积聚成一条直线

由于截交线过圆锥的最前轮廓和最后轮廓

所以左视图积聚的线将在

最前最后轮廓之间连接成粗实线

继续来作

竖直截平面平行圆锥轴线

切圆锥产生交线的最高点

与水平截交线圆弧的左点为同一点

即两个截平面切于圆锥同面上的同一个点

即前面共大C点

后面共大D点

已知了大C

D点的主视投影点小c撇

小d撇点

和水平投影点小c点小d点

根据宽相等高平齐投影规律

求得左视投影点c两撇点和d两撇点

另外

竖直绿色切面的最下点

切于圆锥底圆的大E大F点

如立体图所示

主视图上

底面的水平积聚投影

和绿色截平面积聚投影的交点

便是小e撇和小f撇投影点

符合长对正

在俯视图底圆的实形圆上对应小e点和小f点

俯视图与左视图之间符合宽相等

在左视图中

作出小e两撇点和小f两撇点

接下来补充中间点

在最高的C D点

和最低的E F点之间

取一对大M点和大N点

这两点的主视投影

是位于小c撇小d撇与小e撇小f撇点之间的

小m撇 小n撇

主视图上

过小m撇 小n撇点作水平线

取得轴线到轮廓之间的对应长度做半径

在俯视图画出来mn点所在辅助圆的水平实形圆

符合长对正找出小m点小n点

然后符合高平齐宽相等

求得左视图上对应的小m两撇点和小n两撇点

竖直绿色的侧平切面

产生的表面截交线

左视图上为双曲线的实形

把小c两撇小m两撇

小e两撇光滑连接

把小d两撇

小n两撇

小f两撇光滑连接

而这个绿色截平面在俯视图上积聚成一条直线

由于切过底圆

所以俯视图上

截交线所产生面的积聚投影

从底园的前轮廓画到后轮廓为可见的粗实线

最后把左视图圆锥剩余的最大轮廓

即剩余的前后轮廓和底面的投影补出来

俯视图把剩余底圆的实形轮廓补全

被切后的立体三视图已画好

关于圆锥表面截交线

通过一次截切圆锥和若干次截切圆锥后

所形成立体三视图的绘制过程

给出圆锥表面截交线的

在不同情况下的求作方法和步骤

在这一节里

需要分情况熟练掌握以下三个画图方法

当圆锥表面截交线投影为直线时的求作方法

截交线投影为圆的具体绘制方法

以及截交线投影为椭圆

抛物线

双曲线等非圆曲线的具体作法

好了

本节结束

下一节将讲述圆球表面的截交线

同学们

再见