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1.5.1 高斯定理在线视频

1.5.1 高斯定理

下一节:1.5.2 高斯定理思考题

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1.5.1 高斯定理课程教案、知识点、字幕

同学们好

下面我们介绍静电场的高斯定理

德国物理学家

和数学家高斯

从理论上推出的高斯定理

是电磁学的一条

基本定理

高斯定理　用前面我们学习的电通量的概念

给出了　电场和场源电荷

之间的关系

其表述如下

在真空静电场中

通过任一封闭曲面的电通量

等于该封闭曲面

所包围的电荷电量的代数和

除以ε0

即　电场强度

E矢量对闭合曲面S的面积分

等于

式中

为封闭曲面

S内的电荷电量的代数和

该式就是

真空中静电场

高斯定理的数学表达式

其中的封闭曲面

S面常称为

高斯面

下面　我们来验证高斯定理的

正确性

首先　我们讨论一个静止的

正的点电荷q　所产生的电场

从下面三种情况下　穿过封闭曲面的电通量

1　曲面为以点电荷为中心的球面S1

2　曲面为包围点电荷的任意封闭曲面S2

3　曲面为不包围点电荷的任意封闭曲面S3

我们先求1

通过包围点电荷q的

同心球面的电通量

以点电荷q所在处

为球心　以任意长度

r为半径　作一球面S1

包围这个点电荷q

如图所示　在球面

S1上任取一个小面元dS

其法线正方向沿着径向

由面内指向面外

由于　点电荷的电场强度具有球对称性

因此　在该面元上产生的电场强度

的方向　也沿着此面元法线的正方向

通过面元

dS的电通量则可以表示为

也就等于

其中　电场强度的大小

E也可以表示为

对该式两边积分

得到　通过整个球面S1的电通量为

对　球面S1的面积分

由于

在积分过程中

q r不变

π ε0是常量

所以　可以把系数

提到积分号之外

而将

这个积分积出来就是球面S1的面积

因此　我们最后得到　通过球面S1的电通量

等于

其中　q为球面S1包围的电荷电量的代数和

因此　高斯定理

在这种情况下是成立的

大家注意这一结果

此结果与球面的半径r

没有关系

只与球面S1所包围的电荷电量q有关

这说明对以正的点电荷q为球心的任意球面来说

通过它们的电通量

都相同　而且大于0

即通过这些同心球面的电场线的条数相同

因此　从正的点电荷q

发出的电场线

连续的延伸到无限远处

不会再没有电荷的地方中断

同理　若q小于0

通过包围点电荷球面的电通量都相同

而且小于0

由无限远处而来的电场线

到-q终止

在没有电荷的地方

电场线不中断

不增加

我们再看第二种情况

现在　作另一任意的封闭曲面S2

且S2与球面S1

包围同一个点电荷q

如图所示

由电场线的连续性可知

通过封闭面

S2的电场线的条数

和通过球面S1的电场线的条数是相同的

因此　通过包围点电荷q

任意形状的封闭曲面

S2的电通量仍然是

所以　高斯定理在这种情况下也是成立的

下面

第三种情况

我们选取另外一个封闭曲面

S3

它不包围点电荷q

由于电场线的连续性

从S3一侧穿入的电场线

必然从S3的另一侧穿出

所以　进出S3的电场线的条数是相等的

净穿出S3电场线的条数

为0

即　通过

封闭曲面S3的电通量

等于0

而封闭曲面S3

没有包围任何电荷

所以

高斯定理在这种情况下　也是成立的

上面的分析表明

点电荷的场中

通过任一封闭曲面的电通量

即在任意形状的封闭曲面内的点电荷

q对该曲面的电通量的贡献为

处于封闭曲面外的点电荷

对该封闭曲面电通量的贡献

为0

以上讨论的是

单个点电荷电场的情况

下面　我们考虑生场电荷为多个点电荷的情况

对于一个由若干个点电荷

q1　q2等等

一直到qn组成的电荷系

在其电场中　任意选取一个封闭曲面S

它包围一部分

点电荷　我们用q1　q2

等等　一直到qj

来表示

另外一些点电荷

在封闭曲面S的外部

我们用q(j+1)

等等　一直到qn来表示

根据场强的叠加原理

封闭曲面S上的任意一点的电场强度

等于所有点电荷单独存在时

在该点产生的电场强度的矢量和

也可以表示为

其中

代表第i个点电荷

单独存在时

在闭合面上的某一场点

上产生的电场强度

因此　通过封闭

曲面S的电通量

Φe等于电场强度

对封闭曲面S的面积分

并把求和号和积分号交换顺序

我们得到

先对S面

进行积分

进行求和

我们可以把

这个求和分成两部分

一部分是i从1到j求和

另外一部分是i从j+1到n求和

首先

我们来考察　第一部分

在这一部分中

每一个点电荷都在封闭曲面

S的内部

根据我们前面关于

单个点电荷的分析可知

这些点电荷

对通过封闭曲面S的电通量的贡献

就是这些点电荷的电量

除以ε0

所以　第一部分求和等于

我们得到　第一部分求和

的结果为

这里Σq内代表封闭曲面S

包围的所有点电荷电量的代数和

在第二部分求和中

每一个电荷都在封闭曲面的外部

根据前面的分析　这些点电荷

对通过封闭曲面S的电通量的贡献为0

所有第二部分的求和等于0

综合上面这两步的结果

我们得到　通过封闭曲面S的

总的电通量

等于电场强度

这正是高斯定理的表达式

所以　高斯定理在这种情况下

也是成立的

由于任意点电荷系均可看成是

点电荷的集合体

我们可以得到下面这个推论

高斯定理对任意连续的电荷分布

也是正确的

接下来

我们来讨论应用高斯定理时的几条注意事项

1　以上对高斯定理的证明

并不严格

我们只是采用归纳的方法

对高斯定理进行了验证

实际上

高斯定理可从库仑定律和场强叠加原理

严格导出

它是平方反比规律的必然结果

正是由于库仑定律的平方反比关系

才能得到穿过高斯面的电通量

计算结果与r无关

如果　电力平方反比规律不满足

则高斯定理也不成立

但是　也应该指出

虽然高斯定理可以从库仑定律直接导出

但是库仑定律只适用于静电场

而对于运动电荷和变化的电场

库仑定律不再成立

但高斯定理仍然有效

既不论是静电场

还是变化的电场

高斯定理都是适用的

它比库仑定律应用更广泛

意义更深刻

所以高斯定理

源于库仑定律　又高于库仑定律

它适用于运动电荷所产生的变化的电场

2　高斯定理中的E矢量

是封闭曲面上各点的场强

它是由全部电荷

既包括封闭曲面内又包括封闭曲面外的电荷

共同产生的合场强

并非只由封闭曲面内的电荷所产生

例如

对电偶极子的场中

取如图所示的高斯面

面上各点的场强

是一对等量异号的点电荷产生的

但是

高斯面内外电荷

对电通量及电场强度

对闭合曲面的面积分的贡献有差别

只有封闭曲面内部的电荷

才对通过封闭曲面的电通量有贡献

封闭曲面外部的电荷

对这一电通量没有贡献

即通过封闭曲面的电通量

取决于它所包围的电荷

所以　同学们一定要注意

场强E矢量

与场强的通量Φe是两个不同的概念

切勿混淆

另外

通过闭合曲面的电通量

与曲面内的净电荷有关

但与电荷分布无关

高斯定理中的Σq内

叫做封闭曲面内的净电荷

当它等于0时

例如　高斯面内正负点电荷的电量相等

且不重合时　通过封闭曲面的电通量就为0

但这并不意味着

封闭曲面上的电场强度处处为0

也不意味着

封闭曲面内一定没有电荷

3

高斯定理是静电场的一条重要的定理

有其重要的理论地位

是反映静电场性质的基本方程之一

由高斯定理可以看出

当封闭曲面

包围电荷q的时候

通过该闭合曲面的电通量

若q大于0时

则Φe大于0

说明

从封闭曲面内发出

即正电荷是电场线的头

若q小于0时

则通过封闭曲面的电通量Φe小于0

说明

有q/ε0条电场线向封闭曲面汇集

即负电荷

是电场线的尾

由此可知

高斯定理揭示了场和场源的内在联系

头和尾

就是源　所以静电场

是有源场

正负电荷是静电场的场源

这是静电场的重要性质

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绪论

-大学物理绪论

--大学物理绪论

-电磁学引言

--电磁学引言

第一章静电场

-1.1 库仑定律

--1.1.1A 电荷(1)

--1.1.1B 电荷(2)

--1.1.2A 库仑定律

--1.1.2B 库仑定律例题

--1.1.2C 库仑定律小议

--1.1.3 电力叠加原理

-1.1 库仑定律

-1.2 电场电场强度

--1.2.2 电场强度

-1.2 电场电场强度——小测验

-1.3 电场强度的计算(1)

--1.3.1 场强叠加原理与点电荷系的场强

--1.3.2 电偶极子场强

--1.3.3 连续带电体系的场强

--1.3.4 细棒场强

--1.3.5 走近闪电

--1.3.6 平板场强

-1.3 电场强度的计算(1)——小测验

-第一章静电场--WEEK1 作业

-1.3 电场强度的计算(2)

--1.3.7 圆环场强

--1.3.8 圆盘场强

-1.3 电场强度的计算(2)——小测验

-1.4 电场线电通量

--1.4.1 电场线

--1.4.2 电通量

-1.4 电场线电通量——小测验

-1.5 静电场的高斯定理

--1.5.1 高斯定理

--1.5.2 高斯定理思考题

-1.5 静电场的高斯定理——小测验

-1.6 利用高斯定理求静电场的分布

--1.6.1 高斯定理应用1

--1.6.2 高斯定理应用2

--1.6.3 高斯定理应用3

--1.6.4 高斯定理应用4

--1.6.5 静电场强求解举例及小结

-1.6 利用高斯定理求静电场的分布——小测验

-第一章静电场--WEEK2 作业

-1.7 静电场的环路定理电势

--1.7.1 静电场的环路定理

--1.7.2 电势能

--1.7.4 电势差

-1.7 静电场的环路定理电势——小测验

-1.8 场强积分法求电势

--1.8.1 点电荷的电势

--1.8.2 均匀带电球面的电势

--1.8.3 无限长均匀带电直线的电势

--1.8.4 静电除尘

--1.8.5 两道小例题及本讲小结

-1.8 场强积分法求电势——小测验

-1.9 电势叠加原理及电势的计算

--1.9.1 电势叠加原理

--1.9.2 点电荷系的电势例题

--1.9.3 电偶极子的电势

--1.9.4 均匀带电细杆延长线上的电势

--1.9.5 圆环轴线上的电势

--1.9.6 圆盘轴线上的电势

--1.9.7 两个同心均匀带电球面的电势

--1.9.8 均匀带电球层的电势

--1.9.9 电势计算小结

-1.9 电势叠加原理及电势的计算——小测验

-1.10 等势面电势梯度

--1.10.1 等势面

--1.10.2 电势梯度

--1.10.3 由电势梯度求场强例题

-1.10 等势面电势梯度——小测验

-1.11 静电场中的电偶极子

--1.11 静电场中的电偶极子

-1.11 静电场中的电偶极子——小测验

-第一章静电场-- WEEK3 作业

第二章静电场中的导体和电介质

-2.1 导体的静电平衡条件

--2.1.1 物质导电性能分类

--2.1.2 导体的静电平衡条件

-2.1 导体的静电平衡条件——小测验

-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布

--2.2.1 导体电荷分布1

--2.2.2 库仑定律的精确验证

--2.2.3 导体电荷分布2

--2.2.4 导体电荷分布3

--2.2.5 避雷针趣事

--2.2.6 范德格拉夫起电机

--2.2.7 场离子显微镜

-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布——小测验

-2.3 静电屏蔽

--2.3.1 静电屏蔽

--2.3.2 静电屏蔽的应用

-2.3 静电屏蔽——小测验

-2.4 有导体存在时静电场量的计算

--2.4.1 有导体时场量计算原则与例题1

--2.4.2 导体例题2

--2.4.3 导体例题3

--2.4.4 导体例题4

-2.4 有导体存在时静电场量的计算——小测验

-第二章静电场中的导体和电介质--WEEK4 作业

-2.5 静电场中的电介质

--2.5.1 电介质对电场的影响

--2.5.2 电介质的极化

--2.5.3 电极化强度

-2.5 静电场中的电介质——小测验

-2.6 有电介质时的高斯定理

--2.6.1 电位移和有电介质时的高斯定理

--2.6.2 D的高斯定理的应用例1

--2.6.3 D的高斯定理的应用例2

--2.6.4 静电场的边界条件

-2.6 有电介质时的高斯定理——小测验

-2.7 电容电容器

--2.7.1 孤立导体的电容

--2.7.2 电容器及其电容

--2.7.3 电容器家族简介

--2.7.4 电容器的连接

--2.7.5 电容的计算及平板电容器的电容

--2.7.6 电容器的应用举例

--2.7.7 柱形电容器的电容

--2.7.8 神经元的电容

--2.7.9 球形电容器的电容

--2.7.10 分布电容

-2.7 电容电容器——小测验

-2.8 静电场的能量

--2.8.1 电容器的能量

--2.8.2 电容器的能量例题

--2.8.3 巧克力碎屑的秘密Ⅲ

--2.8.4 静电场的能量能量密度

--2.8.5 静电场的能量例题

--2.8.6 核裂变能的估算

-2.8 静电场的能量——小测验

-第二章静电场中的导体和电介质--WEEK5 作业

第三章稳恒磁场

-3.1 稳恒电流

--3.1.1 磁学概述

--3.1.2电流电流密度

--3.1.3欧姆定律的微分形式

--3.1.4电源和电动势

--3.1.5 巧克力碎屑的秘密Ⅳ

--3.1.6 案例研究

-3.1 稳恒电流——小测验

-3.2 磁场磁感应强度

--3.2.1磁的基本现象

--3.2.2磁场和磁感应强度

--3.2.3磁感线

-3.3 毕奥—萨伐尔定律

--3.3.1毕奥--萨伐尔定律的内容

--3.3.2毕奥--萨伐尔定律的应用一

--3.3.3毕奥--萨伐尔定律的应用二

--3.3.4毕奥--萨伐尔定律的应用三

--3.3.5毕奥--萨伐尔定律的应用四

--3.3.6运动电荷的磁场

-3.3 毕奥—萨伐尔定律——小测验

-第三章稳恒磁场--WEEK6 作业

-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理

--3.4.1磁场的高斯定理

--3.4.2安培环路定理

--3.4.3第四节应用一

--3.4.4第四节应用二

--3.4.5第四节应用三

--3.4.6第四节应用四

--3.4.7第四节应用五

-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理——小测验

-3.5 磁场对载流导线的作用

--3.5.1安培力

--3.5.2安培力例一

--3.5.3安培力例二

--3.5.4安培力例三

--3.5.5电磁炮

--3.5.7磁力矩

--3.5.8磁力矩例题

-3.5 磁场对载流导线的作用——小测验

-3.6 磁场对运动电荷的作用

--3.6.1洛伦兹力

--3.6.2带电粒子在磁场中的运动

--3.6.3带电粒子在磁场中的运动（续）

--3.6.4霍尔效应

-3.6 磁场对运动电荷的作用——小测验

-第三章稳恒磁场--WEEK7 作业

-3.7 磁场中的磁介质

--3.7.1磁介质分类

--3.7.2磁介质的磁化

--3.7.3磁化强度磁化电流

--3.7.4磁化强度磁化电流（续）

--3.7.5 H的环路定理

--3.7.6 第七节例一

--3.7.7 第七节例二

--3.7.8 铁磁质

第四章电磁感应麦克斯韦方程组

-4.1 法拉第电磁感应定律

--4.1.1 法拉第电磁感应定律

--4.1.2 法拉第电磁感应定律例题

--4.1.3 楞次定律

-4.1 法拉第电磁感应定律——小测验

-4.2 动生电动势

--4.2.1 动生电动势定义

--4.2.2 动生电动势例题（一）

--4.2.3 动生电动势例题（二）

-4.2 动生电动势——小测验

-第四章电磁感应麦克斯韦方程组--WEEK8 作业

-4.3 感生电动势及感生电场

--4.3.1 感生电动势及感生电场

--4.3.2 感生电场的计算

--4.3.3 电子感应加速器

-4.3 感生电动势及感生电场——小测验

-4.4 感生电动势例题

--4.4.1 感生电动势例题（一）

--4.4.2 感生电动势例题（二）

-4.4 感生电动势例题——小测验

-4.5 涡电流及电磁阻尼

--4.5.1 法拉第电磁感应定律再讨论

--4.5.2 法拉第的主要成就

--4.5.3 涡电流及电磁阻力

-4.5 涡电流及电磁阻尼——小测验

-4.6 互感与自感

--4.6.1 自感、自感电动势、自感系数

--4.6.2 自感例题

--4.6.3 互感、互感电动势、互感系数及例题

-4.6 互感与自感——小测验

-第四章电磁感应麦克斯韦方程组--WEEK9 作业

-4.7 磁场的能量和能量密度

--4.7.1 磁场能量

--4.7.2 位移电流

-4.7 磁场的能量和能量密度——小测验

-4.8 麦克斯韦方程组电磁波

--4.8.1 普遍意义的安培环路定理

--4.8.2 电磁波

-4.8 麦克斯韦方程组电磁波——小测验

-第四章电磁感应麦克斯韦方程组--WEEK10 作业

1.5.1 高斯定理笔记与讨论

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