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1.6.3 高斯定理应用3在线视频

1.6.3 高斯定理应用3

下一节:1.6.4 高斯定理应用4

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1.6.3 高斯定理应用3课程教案、知识点、字幕

大家好

下面我们来看

柱对称或者说是轴对称的问题

例四

求无限长均匀带电直线的电场分布

设带电直线的电荷线密度为λ

并设λ大于0

求解的第一步

是进行对称性分析

如图所示

考虑任意场点P

它到直线的垂直距离为r

因为带电直线为无限长

且均匀带电

所以电荷分布

相对于垂线OP

上下是对称的

对于上半段上的任何一个

线电荷元dq

在下半段都存在另一个线电荷元dq'

二者对垂线OP完全对称

dq和dq'在P点产生的元电场

dE矢量和dE'矢量

也对OP垂线完全对称

从而

dE与dE'的矢量和

必定沿垂线OP

并指向远离O的方向

整个带电直线上的电荷

都可以分割成

一对对的这样对称的线电荷元

因而 P点的总场强

E的方向垂直于带电直线而沿径向

并指向远离O的方向

由于本例中电荷分布具有轴对称性

所以

这一无限长均匀带电直线的电场分布

也具有轴对称性

这就是说

与P点在以带电直线为轴的

同一圆柱面上的

各点的电场强度

大小相等方向都沿着径向

在垂直于细棒的平面内

呈辐射状

所以在求解的第二步

我们根据电场分布的这种轴对称性

选取高斯面时

作一个过P点

与带电直线为轴

与L为高的圆筒形封闭面

S面为高斯面

然后是求解的第三步

先从高斯定理等式的左方入手

计算通过整个高斯面的电通量

即电场强度对高斯面S面的面积分

它可以分为

对S面的侧面和上下两个底面的

两个积分

即电场强度

对侧面的面积分

加上电场强度

对两个底面的积分

由于

S面的上下

底面的法线方向

与电场强度的方向是垂直的

所以

通过两个底面的通量为0

而在S面的侧面上的各点

面元的法线方向

与电场强度的方向相同

所以对侧面积分下的E矢量

点乘dS矢量

就等于E的大小乘以dS的大小

在侧面上

各点场强的大小

都与待求的P点场强E相同

因此我们可以把E的大小

提到积分符号之外

而其中dS对侧面的积分

就是圆柱面的侧面面积

2πr乘以l

所以通过此高斯面的电通量

就为E乘以2πr乘以l

求解的第四步

是利用高斯定理

给出P点场强的大小E

和生场电荷之间的联系

即 E乘以2πr乘以l

等于Σq内/εo

其中高斯面

所包围的电荷Σq内

等于λ乘以l

因此无限长均匀带电直线的

电场强度分布为

E等于λ/(2πεor)

方向在垂直于带电直线的平面内

沿着径向

此结果与我们前面通过场强积分法

所求解的有限长细棒周围的场强

最后推出的关于无限长

均匀带电直线的场强的结果

是完全一样的

由此可见

在电荷分布

具有某种对称性时

利用高斯定理计算电场强度的分布

要简便的多

例五

求无限长均匀带电圆柱面的电场分布

已知圆柱面的半径为R

单位长度的带电量为λ

并设λ大于0

求解时先根据电荷分布的对称性

分析电场分布的对称性

设P是空间任意一点

与圆柱面轴线的距离为r

由于电荷分布具有轴对称性

可以确定电场分布也具有轴对称性

即与圆柱面轴线等距离的各点的

场强的大小相等

方向都垂直于圆柱面向外

通过P点

以圆柱面轴线为轴

作一个圆柱面

其高度为h

再加上上下底面

就形成了一个闭合曲面作为高斯面

当r大于R时

高斯面就为这个S面

应用高斯定理

先从高斯定理等式的左方入手

计算通过高斯面的电通量

Φe等于电场强度对闭合高斯面的面积分

这个积分可以分成三部分

分别是

电场强度对圆柱面的上底面的积分

对圆柱面的下底面的积分

和对圆柱面的侧面的积分

由于在高斯面的上下底面上

各面元处电场强度

都与面元的法线方向垂直

所以 E矢量点乘dS矢量等于0

故没有电通量通过上下底面

因此通过整个封闭曲面S的净通量

就是通过圆柱面侧面的电通量

在圆柱面的侧面上

各个面元处

场强的方向和面元的法线正方向一致

所以E矢量

点乘dS矢量

等于E的大小乘以dS的大小

由电荷分布的柱对称性

可以分析出

在侧面上各面元处场强的大小

都与待求的P点场强E相同

因此我们可以把E的大小

提到积分符号之外

而其中dS对侧面积分

就是圆柱面的面积

2πr乘以h

所以通过此高斯面

即整个封闭曲面的电通量

为2πr乘以h乘以E

封闭曲面内

包围的净电荷

Σq内等于λ乘以h

其中λ是带电圆柱面

单位长度所带的电量

h是高斯面的高度

把这两项代入到高斯定理的表达式中

可以得到2πr乘以h乘以E

等于λh/εo

求解出E的大小

等于λ/2πεor

此时的场点在圆柱面之外

方向垂直于

圆柱面向外

这个结果

与我们前面求得的

无限长均匀带电直线的

电场强度的表达式是完全一样的

因此

带电圆柱面

在其外侧所产生的电场

与整个圆柱面的电量

都集中在轴线上的场强是相同的

如果场点在均匀带电圆柱面内

也就是当r小于R时

我们选择类似的高斯面为S'

应用高斯定理可以得到

E乘以2πrh'等于0

这是因为S'所包围的电荷的电量为0

所以在圆柱面内

场强等于0

2010年2月24日

河北某淀粉厂

发生了爆炸事故

造成19人死亡

49人受伤

近几十年

类似的粉尘爆炸事故

在世界各地屡有发生

有些则是由静电放电火花点燃而引起的

这是因为

粉尘在加工输运储存收集过程中

易积累大量的静电

下面的例六

巧克力碎屑的秘密

就是以20世纪70年代

曾在欧洲某饼干厂

出现的巧克力碎屑粉末爆炸为例

进行分析

在工厂

工人们通常把先送到的

巧克力碎屑粉末袋

缷空到送料的料箱中

粉末由料箱的下方流出

被鼓风机吹走

通过接地的聚氯乙烯管道

送到贮仓内储存

以便上生产线生产

在有巧克力粉末流的

聚氯乙烯的管道的某处

爆炸因满足条件

电场的大小变为

3.0×10的六次方N/C

或者更大

以致它能发生电击穿因而打火花

假设带负电的巧克力碎屑粉末流

被吹过半径R等于5.0cm的聚氯乙烯管道

粉末及其电荷

被均匀的以

ρ等于-1.1×10的负3次方C/m3

散布在管道中

这在饼干厂是有代表性

一求管道中的电场强度的大小

二打火花会出现吗

如果会会在哪里呢

由于管道细而长

所以我们可以把管道看成是

半径为R2的

电荷体密度为ρ的

无限长均匀带电的圆柱体

根据其电荷分布的对称性

来分析电场分布对称性的特点

由于电荷分布具有的是轴对称性

可以确定电场分布也具有轴对称性

即与圆柱面距轴线

等距离的各点的场强

大小相等方向都垂直于圆柱面向外

当场点P在圆柱体内时

作以带电圆柱面同轴

而截面半径为r

长度为l的两端

封顶的圆柱面

把它作为高斯面

通过该面的电通量

电场强度

对闭合高斯面的面积分

可以分成三个部分

分别是电场强度

对侧面的面积分

和对圆柱面的上底面的面积分

以及下底面的面积分

由于在高斯面的上下底面上

各面元处电场强度都与面元的

法线方向垂直

所以 E矢量点乘dS矢量等于0

故没有电通量通过上下底面

因此通过整个封闭曲面S的净通量

就是通过圆柱面

侧面的电通量

在圆柱面的侧面上的各个面元处

场强的方向和面元的法线方向一致

所以 E矢量点乘

dS矢量等于E的大小乘以dS的大小

由电荷分布的柱对称性

可以分析出在侧面上

各面元处场强的大小

都与待求的P点的场强E相同

因此我们可以把E的大小

提到积分符号之外

而其中 dS对侧面积分

就是圆柱面的面积

2πr乘以l

所以通过此高斯面

及整个封闭曲面的电通量

为E乘以2πr乘以l

由高斯定理则它等于

q内除以εo

而封闭曲面内

包围的净电荷q内

等于其包围的体积（πr的平方乘以l）

乘以电荷的体密度ρ

所以可解得

E内等于

ρr/（2ε0）

这是我们要求的第一问的结果

由于在柱体内场强

与场点到轴的距离r成正比

所以管道中场强最大的地方

在管道壁处

即在r等于R的地方

所以

管内电场强度的最大值

是等于ρR/(2ε0)

代入已知的数值

则算出结果为

3.1乘上10的六次方N/C

该值大于

击穿场强3.0×10的六次方N/C

因此火花可能会出现在

r等于R的地方

本次探索尚未结束

后面还有巧克力碎屑的秘密之二之三和之四

大学物理——电磁学课程列表：

绪论

-大学物理绪论

--大学物理绪论

-电磁学引言

--电磁学引言

第一章静电场

-1.1 库仑定律

--1.1.1A 电荷(1)

--1.1.1B 电荷(2)

--1.1.2A 库仑定律

--1.1.2B 库仑定律例题

--1.1.2C 库仑定律小议

--1.1.3 电力叠加原理

-1.1 库仑定律

-1.2 电场电场强度

--1.2.2 电场强度

-1.2 电场电场强度——小测验

-1.3 电场强度的计算(1)

--1.3.1 场强叠加原理与点电荷系的场强

--1.3.2 电偶极子场强

--1.3.3 连续带电体系的场强

--1.3.4 细棒场强

--1.3.5 走近闪电

--1.3.6 平板场强

-1.3 电场强度的计算(1)——小测验

-第一章静电场--WEEK1 作业

-1.3 电场强度的计算(2)

--1.3.7 圆环场强

--1.3.8 圆盘场强

-1.3 电场强度的计算(2)——小测验

-1.4 电场线电通量

--1.4.1 电场线

--1.4.2 电通量

-1.4 电场线电通量——小测验

-1.5 静电场的高斯定理

--1.5.1 高斯定理

--1.5.2 高斯定理思考题

-1.5 静电场的高斯定理——小测验

-1.6 利用高斯定理求静电场的分布

--1.6.1 高斯定理应用1

--1.6.2 高斯定理应用2

--1.6.3 高斯定理应用3

--1.6.4 高斯定理应用4

--1.6.5 静电场强求解举例及小结

-1.6 利用高斯定理求静电场的分布——小测验

-第一章静电场--WEEK2 作业

-1.7 静电场的环路定理电势

--1.7.1 静电场的环路定理

--1.7.2 电势能

--1.7.4 电势差

-1.7 静电场的环路定理电势——小测验

-1.8 场强积分法求电势

--1.8.1 点电荷的电势

--1.8.2 均匀带电球面的电势

--1.8.3 无限长均匀带电直线的电势

--1.8.4 静电除尘

--1.8.5 两道小例题及本讲小结

-1.8 场强积分法求电势——小测验

-1.9 电势叠加原理及电势的计算

--1.9.1 电势叠加原理

--1.9.2 点电荷系的电势例题

--1.9.3 电偶极子的电势

--1.9.4 均匀带电细杆延长线上的电势

--1.9.5 圆环轴线上的电势

--1.9.6 圆盘轴线上的电势

--1.9.7 两个同心均匀带电球面的电势

--1.9.8 均匀带电球层的电势

--1.9.9 电势计算小结

-1.9 电势叠加原理及电势的计算——小测验

-1.10 等势面电势梯度

--1.10.1 等势面

--1.10.2 电势梯度

--1.10.3 由电势梯度求场强例题

-1.10 等势面电势梯度——小测验

-1.11 静电场中的电偶极子

--1.11 静电场中的电偶极子

-1.11 静电场中的电偶极子——小测验

-第一章静电场-- WEEK3 作业

第二章静电场中的导体和电介质

-2.1 导体的静电平衡条件

--2.1.1 物质导电性能分类

--2.1.2 导体的静电平衡条件

-2.1 导体的静电平衡条件——小测验

-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布

--2.2.1 导体电荷分布1

--2.2.2 库仑定律的精确验证

--2.2.3 导体电荷分布2

--2.2.4 导体电荷分布3

--2.2.5 避雷针趣事

--2.2.6 范德格拉夫起电机

--2.2.7 场离子显微镜

-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布——小测验

-2.3 静电屏蔽

--2.3.1 静电屏蔽

--2.3.2 静电屏蔽的应用

-2.3 静电屏蔽——小测验

-2.4 有导体存在时静电场量的计算

--2.4.1 有导体时场量计算原则与例题1

--2.4.2 导体例题2

--2.4.3 导体例题3

--2.4.4 导体例题4

-2.4 有导体存在时静电场量的计算——小测验

-第二章静电场中的导体和电介质--WEEK4 作业

-2.5 静电场中的电介质

--2.5.1 电介质对电场的影响

--2.5.2 电介质的极化

--2.5.3 电极化强度

-2.5 静电场中的电介质——小测验

-2.6 有电介质时的高斯定理

--2.6.1 电位移和有电介质时的高斯定理

--2.6.2 D的高斯定理的应用例1

--2.6.3 D的高斯定理的应用例2

--2.6.4 静电场的边界条件

-2.6 有电介质时的高斯定理——小测验

-2.7 电容电容器

--2.7.1 孤立导体的电容

--2.7.2 电容器及其电容

--2.7.3 电容器家族简介

--2.7.4 电容器的连接

--2.7.5 电容的计算及平板电容器的电容

--2.7.6 电容器的应用举例

--2.7.7 柱形电容器的电容

--2.7.8 神经元的电容

--2.7.9 球形电容器的电容

--2.7.10 分布电容

-2.7 电容电容器——小测验

-2.8 静电场的能量

--2.8.1 电容器的能量

--2.8.2 电容器的能量例题

--2.8.3 巧克力碎屑的秘密Ⅲ

--2.8.4 静电场的能量能量密度

--2.8.5 静电场的能量例题

--2.8.6 核裂变能的估算

-2.8 静电场的能量——小测验

-第二章静电场中的导体和电介质--WEEK5 作业

第三章稳恒磁场

-3.1 稳恒电流

--3.1.1 磁学概述

--3.1.2电流电流密度

--3.1.3欧姆定律的微分形式

--3.1.4电源和电动势

--3.1.5 巧克力碎屑的秘密Ⅳ

--3.1.6 案例研究

-3.1 稳恒电流——小测验

-3.2 磁场磁感应强度

--3.2.1磁的基本现象

--3.2.2磁场和磁感应强度

--3.2.3磁感线

-3.3 毕奥—萨伐尔定律

--3.3.1毕奥--萨伐尔定律的内容

--3.3.2毕奥--萨伐尔定律的应用一

--3.3.3毕奥--萨伐尔定律的应用二

--3.3.4毕奥--萨伐尔定律的应用三

--3.3.5毕奥--萨伐尔定律的应用四

--3.3.6运动电荷的磁场

-3.3 毕奥—萨伐尔定律——小测验

-第三章稳恒磁场--WEEK6 作业

-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理

--3.4.1磁场的高斯定理

--3.4.2安培环路定理

--3.4.3第四节应用一

--3.4.4第四节应用二

--3.4.5第四节应用三

--3.4.6第四节应用四

--3.4.7第四节应用五

-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理——小测验

-3.5 磁场对载流导线的作用

--3.5.1安培力

--3.5.2安培力例一

--3.5.3安培力例二

--3.5.4安培力例三

--3.5.5电磁炮

--3.5.7磁力矩

--3.5.8磁力矩例题

-3.5 磁场对载流导线的作用——小测验

-3.6 磁场对运动电荷的作用

--3.6.1洛伦兹力

--3.6.2带电粒子在磁场中的运动

--3.6.3带电粒子在磁场中的运动（续）

--3.6.4霍尔效应

-3.6 磁场对运动电荷的作用——小测验

-第三章稳恒磁场--WEEK7 作业

-3.7 磁场中的磁介质

--3.7.1磁介质分类

--3.7.2磁介质的磁化

--3.7.3磁化强度磁化电流

--3.7.4磁化强度磁化电流（续）

--3.7.5 H的环路定理

--3.7.6 第七节例一

--3.7.7 第七节例二

--3.7.8 铁磁质

第四章电磁感应麦克斯韦方程组

-4.1 法拉第电磁感应定律

--4.1.1 法拉第电磁感应定律

--4.1.2 法拉第电磁感应定律例题

--4.1.3 楞次定律

-4.1 法拉第电磁感应定律——小测验

-4.2 动生电动势

--4.2.1 动生电动势定义

--4.2.2 动生电动势例题（一）

--4.2.3 动生电动势例题（二）

-4.2 动生电动势——小测验

-第四章电磁感应麦克斯韦方程组--WEEK8 作业

-4.3 感生电动势及感生电场

--4.3.1 感生电动势及感生电场

--4.3.2 感生电场的计算

--4.3.3 电子感应加速器

-4.3 感生电动势及感生电场——小测验

-4.4 感生电动势例题

--4.4.1 感生电动势例题（一）

--4.4.2 感生电动势例题（二）

-4.4 感生电动势例题——小测验

-4.5 涡电流及电磁阻尼

--4.5.1 法拉第电磁感应定律再讨论

--4.5.2 法拉第的主要成就

--4.5.3 涡电流及电磁阻力

-4.5 涡电流及电磁阻尼——小测验

-4.6 互感与自感

--4.6.1 自感、自感电动势、自感系数

--4.6.2 自感例题

--4.6.3 互感、互感电动势、互感系数及例题

-4.6 互感与自感——小测验

-第四章电磁感应麦克斯韦方程组--WEEK9 作业

-4.7 磁场的能量和能量密度

--4.7.1 磁场能量

--4.7.2 位移电流

-4.7 磁场的能量和能量密度——小测验

-4.8 麦克斯韦方程组电磁波

--4.8.1 普遍意义的安培环路定理

--4.8.2 电磁波

-4.8 麦克斯韦方程组电磁波——小测验

-第四章电磁感应麦克斯韦方程组--WEEK10 作业

1.6.3 高斯定理应用3笔记与讨论

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