当前课程知识点:大学物理——电磁学 > 第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组 > 4.7 磁场的能量和能量密度 > 4.7.1 磁场能量
同学们好
下面我们来学习
本章第四节
首先我们来看
我们讨论
这么一个回路
它由电动势源
负载
和自感线圈组成
当开关闭合时
回路中的电流
要由0增大到
某一稳态值
我们讨论
电流变大的过程中
回路中的能量的转换情况
因为回路中
电流在增大
所以在自感线圈上
一定会激发出自感电动势
我们由
欧姆定律
我们可以得到
电源电动势加上自感电动势
等于回路中的电流
i
乘上
R
又由于自感电动势
是由电流变化引起的
因此它也可以表示成这个形式
而L
就是线圈的自感系数
我们把
这个表达式中的第二项移项
移到等号的右边
并且两边同乘以电流i
就可以得到一个
功率的关系
它表现成这个表达式
其中
左边它代表了
电动势源所提供的功率
它就等于
消耗在
负载上的电功率
加上
电源电动势
克服自感电动势做功的功率
由
克服自感电动势做功的功率
就是刚才那个功率
乘上dt
它就可以表达成
而在电流
电源电动势克服自感电动势
所做的总功
就是表示成0到i的一个积分
最后计算出来
它可以等于
而1/2LI²
这个总功
正是以
磁能
磁场能量的形式
储存在线圈中
它表示了
线圈流过i的电流时
所储存的能量
如果
把开关扳向另外一侧
这时它储存的能量
就能释放出来
在前面的一个实验中我们看见
回路断开时
它的灯泡会突闪一下
也就是线圈储存的能量
释放出来了
这里我们通过回路的讨论
得到了线圈中
流过电流i时
所储存的能量
它可以表达成
其中
L
是它的自感系数
那么线圈储存能量的实质
实际上是线圈中
形成了磁场
那这个能量和磁场之间
又有什么关系呢
下面我们就来讨论
我们讨论一个特殊的线圈
长直螺线管
它的长为l
总共有N匝
考虑这么一个长直螺线管
那么当它通过电流i时
它的磁感线应强度
可以表达成这个形式
当然我们也可以用磁感应强度
把I
也表达出来
通过这个式子
当它通过电流I时我们也知道
它储存的能量
就可以写成
那么我们把这个L的定义式
自感系数的定义式
代入
这时候i就可以约掉
约掉之后
I还剩一个
一倍的I
然后把I的表达式代入
另外这个全磁通
就等于
因为是匀强磁场
最后我们把这个式子再经过化简
我们可以得到
线圈所储存的能量的
另外一种表达式
它可以表达成
这里的V
就是螺线管的体积
也是有磁场区域的体积
它是等于S乘上L的
由于螺线管内的磁场
是匀强磁场
也就是说磁感应强度
B
是个常量
因此如果我们把体积V除过来
就可以得到
也就是说
而这个磁能密度
是和磁感应强度
B
相联系的
因此磁能密度
就可以表示成
可以定义成
这里
我们通过
长直螺线管这一特例
讨论得到了
磁能密度
和磁感应强度
之间的关系式
可以证明
这一关系式
适用于任意的磁场
只要我们知道
空间磁感应强度
B的分布
就知道了
空间磁能密度的分布
因此
对任意的磁场
磁能密度就可以定义为
它等于
又由于
B除以μ
可以表示成
磁场强度H
因此
磁能密度还有另外两种
表示方法
即它等于
也等于
另外
磁能密度
还可以表达成
矢量形式
即它等于
这样
只要我们知道
空间磁场的分布
就知道了
空间磁能密度的分布
就可以通过
体积积分的方式
计算出
空间有磁场区域
所包含的能量
这里
我们从两个不同的角度
讨论了磁场能量
一方面
磁场能量是储存在
器件当中的
如
通电的自感线圈
它所包含的能量
等于
1/2LI²
另一方面
磁场的能量是储存在
磁场这个场当中的
磁场
对应的能量密度
可以表达成
那么
这里我们讨论了磁场的能量
在电学中我们还讨论了
电场的能量
下面
我们就来比较
磁场或电场的能量
一方面
磁场电场的能量是储存在
器件中的
如
电场能量是储存在
电容器里面的
当电容器C
两端的电压为V时
它所储存的能量
可以表达成
同样的
磁场的能量
可以认为是储存在
自感线圈中的
如果自感线圈L
流过I的电流
则线圈储存的能量
当然
它们所储存的能量
是因为
在器件中建立了电场
建立了磁场
因此我们也可以认为
对于电场
电场的能量密度
可以表达成
对于磁场
磁场的能量密度
可以表示成
而对于电磁场
即空间既有电场
又有磁场
那么总的能量密度
就可以表达成
电场的能量密度
加上
磁场的能量密度
这一表达式
普遍适用于
任意的电场或磁场
下面
我们就来看一道例题
内筒流过去
再从外筒流回来
这时候呢
我们要计算磁能
首先我们需要计算
磁感应强度的分布
因为它是一个
圆柱形的电流
我们所以不难计算出
它的磁感应强度的分布
而且这个磁感应强度
就分布在
R1和R2
之间的范围内
在其它区域
磁感应强度为0
知道了磁感应强度的分布
我们就知道了磁能密度的分布
代入我们就可以得到
这个表达式
我们可以看出
磁能密度随r是变化的
因此磁能密度是不均匀的
要计算
空间的
磁场的能量
就必须通过体积积分的方式来计算
这里我们要计算的是
l长度内
储存的磁能
那么我们知道
因为磁场是柱对称的
因此我们可以取
r处
dr厚度对应的一个薄的柱面
我们计算柱面内
储存的
能量
而这个柱面的体积
就可以表示成
再乘上此处的能量密度
就可以计算出柱层里的
这个薄的柱层里含有的磁场能量
那么要
整个R1到R2之间
磁场的总能量
就是R1到R2的一个积分
通过这个积分我们可以计算出
它L长度储存的能量
可以表达成这个形式
这就是
我们通过
磁能密度
通过磁能密度的积分
得到了
有磁场区域
所储存的能量的大小
当然这个能量
也可以通过这个回路
的自感系数
表达出来
它可以等于
这样反过来我们可以把
这个回路的自感系数L
把它求解出来
而L求解出来的结果
和前面我们在自感系数那一节里面
有一到例题
里面计算同样的这个回路
计算出的自感系数是一样的
这也反过来说明了
磁场能量的两种
不同的表现形式
它是等价的
是一致的
-大学物理绪论
--大学物理绪论
-电磁学引言
--电磁学引言
-1.1 库仑定律
-1.1 库仑定律
-1.2 电场 电场强度
--1.2.1 电场
-1.2 电场 电场强度——小测验
-1.3 电场强度的计算(1)
-1.3 电场强度的计算(1)——小测验
-第一章 静电场--WEEK1 作业
-1.3 电场强度的计算(2)
-1.3 电场强度的计算(2)——小测验
-1.4 电场线 电通量
-1.4 电场线 电通量——小测验
-1.5 静电场的高斯定理
-1.5 静电场的高斯定理——小测验
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布——小测验
-第一章 静电场--WEEK2 作业
-1.7 静电场的环路定理 电势
--1.7.3 电势
-1.7 静电场的环路定理 电势——小测验
-1.8 场强积分法求电势
-1.8 场强积分法求电势——小测验
-1.9 电势叠加原理及电势的计算
-1.9 电势叠加原理及电势的计算——小测验
-1.10 等势面 电势梯度
-1.10 等势面 电势梯度——小测验
-1.11 静电场中的电偶极子
-1.11 静电场中的电偶极子——小测验
-第一章 静电场-- WEEK3 作业
-2.1 导体的静电平衡条件
-2.1 导体的静电平衡条件——小测验
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布——小测验
-2.3 静电屏蔽
-2.3 静电屏蔽——小测验
-2.4 有导体存在时静电场量的计算
-2.4 有导体存在时静电场量的计算——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK4 作业
-2.5 静电场中的电介质
-2.5 静电场中的电介质——小测验
-2.6 有电介质时的高斯定理
-2.6 有电介质时的高斯定理——小测验
-2.7 电容 电容器
-2.7 电容 电容器——小测验
-2.8 静电场的能量
-2.8 静电场的能量——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK5 作业
-3.1 稳恒电流
-3.1 稳恒电流——小测验
-3.2 磁场 磁感应强度
--3.2.3磁感线
-3.3 毕奥—萨伐尔定律
-3.3 毕奥—萨伐尔定律——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK6 作业
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理——小测验
-3.5 磁场对载流导线的作用
--3.5.1安培力
--3.5.5电磁炮
--3.5.6磁矩
--3.5.7磁力矩
-3.5 磁场对载流导线的作用——小测验
-3.6 磁场对运动电荷的作用
-3.6 磁场对运动电荷的作用——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK7 作业
-3.7 磁场中的磁介质
-4.1 法拉第电磁感应定律
-4.1 法拉第电磁感应定律——小测验
-4.2 动生电动势
-4.2 动生电动势——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK8 作业
-4.3 感生电动势及感生电场
-4.3 感生电动势及感生电场——小测验
-4.4 感生电动势例题
-4.4 感生电动势例题——小测验
-4.5 涡电流及电磁阻尼
-4.5 涡电流及电磁阻尼——小测验
-4.6 互感与自感
-4.6 互感与自感——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK9 作业
-4.7 磁场的能量和能量密度
-4.7 磁场的能量和能量密度——小测验
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK10 作业