当前课程知识点:大学物理——电磁学 > 第一章 静电场 > 1.6 利用高斯定理求静电场的分布 > 1.6.1 高斯定理应用1
大家好 下面我们介绍
如何利用高斯定理求解静电场的分布
高斯定理
是用电通量
表示电场和场源电荷之间关系的定理
那么当场源电荷分布已知时
我们能否用高斯定理来求场强的分布
从高斯定理的表达式中我们可以看出
电场强度E矢量位于积分号内
所以 尽管高斯定理的成立条件是普遍的
但利用高斯定理求场强是有条件的
它要求带电系统及其电场分布
一定具有某种空间对称性
这样便于我们将高斯定理中
面积分下的电场强度E矢量提到积分号外
在这种对称性的情况下
用高斯定理求静电场
比用库仑定律求解要简便的多
常见的电荷分布对称性有
球对称性 如均匀带电的球体 球面以及点电荷
柱对称性 如无限长均匀带电的圆柱体
圆柱面及直线
它们的一个共同特点是无限长
面对称性 如无限大均匀带电的平板和平面
它们的一个共同特点是无限大
首先我们来看球对称性的问题
例1 求均匀带电球面的电场分布
设球面半径为R 球面上所带的电荷总量为Q
设Q大于零
求解的第一步 根据电荷分布的对称性 分析
电场分布的对称性
让我们考虑球面外任意一个场点P点
并连接OP直线
对于带电球面上的任何一个面电荷元dq
在球面上都存在另外一个面电荷元dq'
两者对OP连线完全对称
dq和dq'在P点产生的元电场
dE矢量和dE'矢量也对OP连线完全对称
从而dE矢量和dE'矢量的合成矢量
必定连着OP连线 并指向远离O的方向
整个带电球面上电荷都可以分割成
一对对的这样对称的面电荷元
所以 整个带电球面在P点产生的总场强
E矢量一定沿着OP的方向
即沿径向并指向远离O的方向
同时 本例中电荷分布具有球对称性
因此 可以判断电场分布也应具有球对称性
这就是说 空间任一点的场强
不仅沿着径矢方向成辐射状
而且在与球心O等距离处
场强E的大小也相等
所以在求解的第二步
我们根据电场分布的这种球对称性
来选取合适的高斯面
对于任意场点P 设它相对于O点的位置矢量
为r矢量 以点O为球心
通过P点做半径为r的球面S面
并以此球面作为高斯面
然后是求解的第三步
我们先从高斯定理等式的左方入手
计算通过高斯面的电通量
E矢量对于闭合高斯面S面的面积分
由于在高斯面上 各面元的法线正方向
与电场强度的方向是一致的
均沿着径向向外
所以
在高斯面上各点场强的大小
都与待求的P点场强E相同
因此 我们可以把E的大小提到积分号之外
而其中dS对球面求积分
就是半径为r的球面的面积
所以 通过此高斯面的电通量
就为
求解的第四步 是利用高斯定理
给出P点场强大小E和生场电荷之间的联系
即
把4πr的平方除到等式的右侧 于是有
其中Σq内代表高斯面内所包围的净电荷
前面的对称性分析
对带电球面内 外的场点都是适用的
所以 该式适用于无论比带电球面大或小的情况
只要高斯面内的电量已知 该式就可求解
如果P点在带电球面内
即当r小于R的时候
高斯面内没有电荷 于是
如果P点在带电球面外
即当r大于R的时候
高斯面包围了带电球面上的电荷
所以
于是有
此时P点的r小于R以及
此时P点的r大于R
考虑场强E的方向 可得电场强度的矢量式为
此结果表明
均匀带电球面内部的电场强度处处为零
均匀带电球面外的电场强度
好像球面上的电荷全部集中在球心
形成的一个点电荷的电场强度分布一样
根据上面的结果我们可以画出
带电球面内外电场强度大小随距离r
变化的关系曲线
从图中可以看出 在均匀带电球面上
电场强度是不连续的
均匀带电球面外场强的大小随带电距离的减小
可以通过电场
对这两个蜡烛火焰的影响的演示实验显而易见
作为范德格拉夫起电机的一部分
带有大量的负电荷
它吸引了附近的蜡烛火焰中的正离子
右侧相当远处的火焰则基本不受影响
下面请大家思考 上面得到的结果
对于Q小于零是否成立
对于Q小于零的情况
场强的大小与Q大于零的情况一样
但球外场强的方向是指向带电球面的
在我们后面的学习中
要涉及多个均匀带电球面产生的场强
可直接使用这个例题的结论
均匀带电球面的内部空间场强处处为零
外部空间的场强与其上电荷
全部集中在球心时的点电荷的场强相同
并通过场强叠加原理进行二次叠加
下面 我们对所得到的均匀带电球面的场强
再作两点讨论
如何理解均匀带电球面的内部场强为零
我们过带电球面内的场点P作一个小圆锥
则在球面上截出两个小的电荷元
dq1和dq2
它们所带有的电量分别为
把它们视为点电荷
则dq1在P点产生的场强为
其中r1为dq1到P点的距离
在平面上一段圆弧长度A'B'
与其圆半径R的比值
称为其对圆心所张的圆心角或平面角
记作
所以 整个圆中对应的圆心角就是2π
与此类似 球面上一块面积S'
与其半径R的平方的比值
称为其对球心所张的立体角
记作
所以dq1在P点产生的场强可以表示为
其中dΩ为dS1对P点所张的立体角
dE1的方向为由dq1所在处指向P点
同理 dq2在P点产生的场强为
其中r2为dq2到场点P的距离
而这里
为dS2对P所张的立体角 它也是dΩ
dE2的方向是由dq2指向P点的方向
因此 这一对电荷元
在P点产生的场强大小相等 方向相反
因而二者相互抵消
整个带电球面上电荷都可以分割成
一对对由过P点的锥体截取的立体角
相等的面电荷元
所以 整个带电球面在P点产生的总场强
E就等于零
如何理解均匀带电球面
带电球面上场强E突变是采用了面模型的结果
实际问题中,计算带电层内
及其附近的准确场强时因放弃面模型
而还其(电荷)体密度分布的本来面目
具体请看下一道例题
-大学物理绪论
--大学物理绪论
-电磁学引言
--电磁学引言
-1.1 库仑定律
-1.1 库仑定律
-1.2 电场 电场强度
--1.2.1 电场
-1.2 电场 电场强度——小测验
-1.3 电场强度的计算(1)
-1.3 电场强度的计算(1)——小测验
-第一章 静电场--WEEK1 作业
-1.3 电场强度的计算(2)
-1.3 电场强度的计算(2)——小测验
-1.4 电场线 电通量
-1.4 电场线 电通量——小测验
-1.5 静电场的高斯定理
-1.5 静电场的高斯定理——小测验
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布——小测验
-第一章 静电场--WEEK2 作业
-1.7 静电场的环路定理 电势
--1.7.3 电势
-1.7 静电场的环路定理 电势——小测验
-1.8 场强积分法求电势
-1.8 场强积分法求电势——小测验
-1.9 电势叠加原理及电势的计算
-1.9 电势叠加原理及电势的计算——小测验
-1.10 等势面 电势梯度
-1.10 等势面 电势梯度——小测验
-1.11 静电场中的电偶极子
-1.11 静电场中的电偶极子——小测验
-第一章 静电场-- WEEK3 作业
-2.1 导体的静电平衡条件
-2.1 导体的静电平衡条件——小测验
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布——小测验
-2.3 静电屏蔽
-2.3 静电屏蔽——小测验
-2.4 有导体存在时静电场量的计算
-2.4 有导体存在时静电场量的计算——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK4 作业
-2.5 静电场中的电介质
-2.5 静电场中的电介质——小测验
-2.6 有电介质时的高斯定理
-2.6 有电介质时的高斯定理——小测验
-2.7 电容 电容器
-2.7 电容 电容器——小测验
-2.8 静电场的能量
-2.8 静电场的能量——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK5 作业
-3.1 稳恒电流
-3.1 稳恒电流——小测验
-3.2 磁场 磁感应强度
--3.2.3磁感线
-3.3 毕奥—萨伐尔定律
-3.3 毕奥—萨伐尔定律——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK6 作业
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理——小测验
-3.5 磁场对载流导线的作用
--3.5.1安培力
--3.5.5电磁炮
--3.5.6磁矩
--3.5.7磁力矩
-3.5 磁场对载流导线的作用——小测验
-3.6 磁场对运动电荷的作用
-3.6 磁场对运动电荷的作用——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK7 作业
-3.7 磁场中的磁介质
-4.1 法拉第电磁感应定律
-4.1 法拉第电磁感应定律——小测验
-4.2 动生电动势
-4.2 动生电动势——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK8 作业
-4.3 感生电动势及感生电场
-4.3 感生电动势及感生电场——小测验
-4.4 感生电动势例题
-4.4 感生电动势例题——小测验
-4.5 涡电流及电磁阻尼
-4.5 涡电流及电磁阻尼——小测验
-4.6 互感与自感
-4.6 互感与自感——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK9 作业
-4.7 磁场的能量和能量密度
-4.7 磁场的能量和能量密度——小测验
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK10 作业