4.2.3 动生电动势例题（二）在线视频

下面我们再来看例四

一圆环状导线半径为R

处于均匀磁场B中

圆环以匀角速度ω

绕竖直轴AA'转动

转轴

竖直轴

这个磁场是水平

向左的

因此

磁场与转轴方向互相垂直

当线圈平面

转到与磁场方向

平行时

也就是如图所示位置的时候

磁场线圈平面和磁场方向平行的时候

求四分之一圆弧ac

两点之间的感应电动势的大小

只求ac

两点之间

是四分之一个圆弧

求这两点之间感应电动势的大小

当然这个是

导线

在转动

一定是对应一个动生电动势

用动生电动势求解

那么首先我们选取

积分的路径方向

是沿着

运动导体

也就是说它求a到c我们就

沿着ac

这个圆弧上

这个圆弧的方向

进行积分

那么

然后我们就要选取在ac这个

回路上

在ac这个路径上选取一小段dl

怎么选取呢

我们可以建一个极坐标

O点是

圆心

是原点

这个竖直轴比如说是x轴

与x轴夹角是θ

来确定

这个导体元的位置

我们选取

在圆弧ac上选取

与转轴

夹角为θ

并且dθ

对应的一小段圆弧

θ处dθ对应的一小段圆弧

这个圆弧表达成dl

它当然也带着一个方向

因为

是这样选取的

所以dl的长短和

dθ之间的关系

就可以等于

它有这个关系

另外dl

它所处的位置的半径

我们也可以表达出来

然后它的速度也可以算出来

速度就等于

ω乘上

dl所在位置处离开转轴的距离r

而这个r

和这个

圆环的半径R之间

和这个θ之间满足

所以速度就等于

那么下面我们

把它

导体元上的

电动势

把它表达出来

就元电动势等于

那么下面我们就来标一下这个方向

我们知道v的方向

随着它转

在这个平面的时候

v的方向是朝里的

而B的方向呢

是朝

朝左的

那我们叉乘一下v

v朝里B朝左一抓

右手螺旋v叉乘B方向是朝下的

我们把这个v叉乘B的方向标出来

而这个dl的方向

就是沿着此处

此点

圆环所在处的切线方向

所以

它和v叉乘B的夹角

就是α

这里设成α

α和θ之间有一定的关系

那么下面我们

写出表达式之后就要把矢量

化简成

标量形式

按照我们画图的情况它就等于

因为vB矢量和dl矢量的夹角是α

然后我们可以把这个

dl

带入v带入α等于

π/2减θ都带入

最后

它化简成这个形式

最后再经过化简就得到

dl这个导体元上

得到的

元电动势

可以表达成这个形式

那么实际ac

这个

四分之一圆弧上总的电动势就是

每一段dl

它可以分割成无数段这样的dl

每一段dl上

产生的元电动势的一个叠加

因此总的电动势

就可以表达成

a到c的元电动势的一个积分

也就等于

因为最后是对θ的一个积分

所以说就0到π/2

的积分

最后我们就可以得到结果

就等于

最后ac圆弧上

产生的感应电动势的大小

动生电动势的大小就是

这个表达式

当然我们看得出

它也是大于0的

因此

我们说

实际电动势的方向就是沿着

我们的积分路径

沿着从a到c的方向

这就是这道题的一个结果

最后我们再看一道例题

这道例题是比较综合性的一道例题

例五

质量为m长为l

的金属棒

从静止开始沿倾斜的

绝缘框架

滑下

倾斜的绝缘框架滑下

这个倾斜角他告诉你为θ

然后磁场

为均匀的磁场B

而且

他也告诉了你

方向是竖直向上的

它沿着倾斜的框架滑下

倾斜框架和水平方向的夹角为θ

他求两个问

第一个问

t时刻

ab内的电动势是多大

就是说它要求电动势随时间的变化

问t时刻的电动势是多大

第二个问

如果框架它不是绝缘框改成金属框

电阻

变成是R

就构成了回路

回路中一个电阻为R

求电动势又为多大

两个问

首先我们来考虑第一个问

t时刻ab内的电动势的大小

当然这也是一道典型的利用

动生电动势公式求解

电动势的例题

那么

根据动生电动势的公式

绝缘时

动生电动势可以表达成这个形式

因为这个

积分的形式

当然我们选取积分

可以沿着一个路径我们假设从

b到a的一个积分

v叉乘B点乘dl

然后我们

下一步就是

要为了

做这个积分就必须把这个矢量形式

化简成标量形势

当然我说了

画图就很重要我们标出

v往下沿着斜面往下

v的方向

B的方向是往上的

所以v叉乘B的方向我可以

用右手螺旋抓出来

v叉乘B的方向是

朝里的

垂直于屏幕往里的

也就是沿着

我们积分的方向

沿着dl的这个路径方向

那我把它标出来v叉乘B是

朝里的

有了这个矢量

画出图来我们就很容易把这个

矢量形式画成标量形式

它就等于

因为v和B不是垂直的关系了

它的夹角是π/2+θ

所以说它要乘上

又由于v叉乘B的矢量和我们的路径

dl的方向是相同的

所以它点乘dl之后

就直接变成

两个

矢量的大小相乘

因为它夹角是0

然后有了这个表达式之后

我们可以化简

因为vB都是常量

θ也是常量

可以提到积分号外面去

实际上这个积分

就是对

运动导体杆的一个积分

那就是这个运动导体杆的长度

这个长度表达出来是l

所以我们就得到

电动势的表达式它等于这个形式

显然

在运动杆往下滑动的过程中

它速度是变化的

因此动生电动势的大小

也是变化的

那么

在第一种情况下

绝缘框的时候

我们只要求出

速度v

随时间的变化关系

把它带入之后就能得到

t时刻ab内的

电动势的大小

杆下滑过程中

它这个

它的速度

随时间t的变化关系是什么呢

这当然就是个力学问题

而且是个简单的力学问题

以为导体杆它

只受到两个力一个重力一个支持力

这里我们只关心在这个

斜面方向的运动

因此我们把力分解成

斜面方向

分解到斜面方向就只有一个力

就是重力的分力

它的分力就是mgsinθ

因此

斜面方向的加速度就是

因此导体杆在斜面方向它是做一个

恒定加速度的

加速运动

那它的v从静止开始

它的v随时间变化的关系就是at

也就等于gsint

我们把gsint带入这个表达式

之后就得到

动生电动势的表达式

它随时间的变化关系

就是这么一个关系

因为它是大于0的

所以

动生电动势的实际方向

就是从b到a的方向

和我们这里的

积分路径的方向

是相同的

就是b到a的方向

下面呢我们再来看

第二个

第二个问

不是绝缘框架了它变成金属的了

这会出现什么样的情况呢

我们想一下

因为

绝缘框变成金属框了

运动的导体和框架之间

就构成了一个回路

由于回路中

产生了动生电动势

所以回路中就会形成电流

那么

运动导体上就要流过

感应电流

而运动导体流过感应电流后

它在磁场中就会

受到一个安培力

所以

这个运动杆它不只是受到

重力和支持力

它还另外会受到一个安培力

因此它的运动

它的运动速度随时间的变化关系

就不一样了

不再是这样的表达式

当然

动生电动势

随时间的变化关系

也不能这样表达

所以我们下面就来求解

第二问

框架

变成金属框架时

因为它有了感应电流

有了感应电流之后

动生电动势

仍然是

前面一样的形式

直接和v有关系

只是v随时间变化的关系

在这里和第一道题不一样了

那么

那么有了这样的动生电动势

就会出现这样的感应电流

而感应电流有欧姆定律

就可以表达成

有了这样的感应电流

感应电流流过运动杆

运动杆就会受到安培力

安培力写成

最后表达出来它可以等于

我们可以把这个I

带入

带入这个最后的表达式可以得到

它受到的安培力是这么个大小

它的方向呢我们可以

通过安培力的公式

判断出来

电动势朝里I朝里

然后

B是朝上的

所以Idl

叉乘一下这个f安培力

是水平向左方的

最后的结果就是这个结果那么

下面呢我们仍然是

接下来的问题我们就要求解

速度随时间的变化关系

因为它受力知道了

这当然也是个力学问题

由于

这时候我们把重力和安培力

都分解到

斜面方向

当然它们两个力方向相反

然后分解之后我们在斜面方向

列出牛顿第二定律

动力学方程

以向下为正

我们就可以得到

安培力的分力就等于

然后我们把安培力的大小带入

带入之后表达成这个形式

要求解这个微分

实际上我们可以用分力变量的方式

进行求解

我们把这个

右边与速度有关的

表达式全部除到

左边这个速度有关的表达式

全部除到右边并且把

dt移到左边

最后化简成这个形式

两边同时积分

而这个

这个是0到t的一个积分

这个是0到v的一个积分

通过同时积分最后我们能把

v随时间t的变化关系

把它表达出来

虽然这个表达式相当复杂

但是

计算的过程其实并不是这么难

思路也是很清晰的

有了v

随时间变化的关系式

我们把它带入

动生电动势的表达式中

就得到

动生电动势

随时间变化的一个关系

这是一道比较综合的例题