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1.7.1 静电场的环路定理在线视频

1.7.1 静电场的环路定理

下一节:1.7.2 电势能

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1.7.1 静电场的环路定理课程教案、知识点、字幕

大家好　前面我们从电荷在电场中

受力的作用出发

例如我们描述电场的物理量电场强度

下面　我们将进一步从电场力对电荷作功出发

来研究电场的性质

得到静电场的环路定理

从而引出电势能和电势的概念

首先　我们回顾一下力学中学过的保守力

什么是保守力呢

如果力所作的功只与物体的始末位置有关

而与所经历的路径无关　这类力就叫保守力

比如力学中的万有引力

弹性力以及电学中的静电力

下面我们在静电场的环路定理这一节中

先来说明静电场的保守性

首先我们讨论一个点电荷所产生的静电场

在一个静止的点电荷q所产生的电场中

将一个实验电荷q0

从P1点沿着任意路径移动到P2点

在q0运动路径上

相对于q的位置矢量

为r矢量的某一位置P处

q在该处产生的电场强度E矢量可以表示为

其中er矢量为沿近始方向上的单位矢量

实验电荷q0受的q电场力为

在q0从q点沿着运动路径发生源位移

dl至P'的过程中

根据功的定义

电场力F对q0所作的原功dA

若E矢量与dl矢量之间的夹角θ角

则原功

把场强的大小代入则等于

从点电荷q指向

dl的末端P'点的位置为r'矢量

从P'点向r或其延长线作垂线P'M

由于dl非常小

所以可以认为r和r'

这点电荷q所在处所占的角度很小　它趋于0

因此P'点M点和场原电荷q所在处

构成了一个等腰三角形

则有P'点M点到q的距离相等

即r的大小等于r'的大小

从图中可以看出PM的长度

等于r'的大小减去r的大小

即等于位矢量大小的增量dl

根据直角三角形的几何关系

于是有原功

在实验电荷由P1点移至P2的整个过程中

电场力所作的总功

A12为所有原功的代数和

设r1和r2分别表示从点电荷q所在处

到实验电荷移动的起点和终点距离

那么总功

积出来也就等于

我们来看这个公式在这个功的表达式中

没有任何一项参数表示实验电荷q0

如何从P1移动到P2点

只与其电量q0

和表示起点和终点位置的物理量

r1和r2有关

困此我们得到一个结论

实验电荷q0

在点电荷q的电场中　移动的过程中

电场力所作的功

只与实验电荷的起点和终点的位置有关

而实验电荷在电场中所经过路径没有关系

因此根据保守力的定义

点电荷所产生的静电场力是保守力

它所产生的静电场是保守场

再如点电荷q1　q2

等等组成的带电体系的电场中

在一个实验电荷q0从P1点

沿着任意路径动到P2点的过程中

电场力所作的功为

根据场强叠加原理

点电荷系在某点产生的电场强度

等于各个点电荷

单独在该点产生的电场强度的矢量和

即有总场强

把它代入到功的表达式中因此

我们将求和号与积分号交换顺序

先积分再求和结果是不变的

即有

点电荷系电场力所作的功

等于组成此点电荷系的

各个点电荷电场力所作的功的代数和

根据前面关于点电荷的场的分析

我们不难得到

其中ri1表示从点电荷qi所在处

到实验电荷移动路径的起点的距离

ri2表示从点电荷qi所在处

到实验电荷移动路径的终点的距离

由于该式右侧的每一项都与路径无关

所以它们的代数和也与路径无关

只由q0的始末位置决定

由此我们得出如下的结论

在真空中一个实验电荷q0

在任何靜电场中移动的过程中

静电场力所作的功

只与实验电荷的电量

和路径的起点及终点的位置有关

而与实验电荷所经过路径没有关系

这是静电力的一个重要特性

和力学中讨论过的万有引力

弹性力等保守力作功的特性类似

所以静电力是保守力　静电场是保守场

静电力作功与路径无关的特性

还可以表述成为力等价形式

这就是静电场的环路定理

其表述为静电场中的场强

也称为电场强度的环流或环量

因此该式表明

在静电场中电场强度的环流恒等于零

这就是静电场的环路定理

其证明如下

是在静电场中有一个实验电荷q0

经历任意个闭合路径L

回到原来的出发点

作用实验电荷q0上静电力

所作的功可以表示成为

由于静电力是保守力

其用功与路径无关

只与起始和终了位置有关这一特性

实验电荷在电场中运动经过闭合路径

回到原来的位置的过程中

电场力所作的功为零

由于实验电荷的电量不为零

且可以提到积分号之外

于是电场强度的环流等于零

静电场的环路定理与前面所讲的高斯定理一样

也是表述静电场性质的一个重要定理

我们可以用环路定理来检验一个电场

是不是静电场

请大家思考如图的电场线表示的电场是静电场

我们可以做一个顺时针的距形环路

其中两条边与电场线平行或者反平行

两条边与电场线垂直

对于两条竖直边由于场强与线原矢量垂直

二者的点乘为零

因而场强沿这两条竖直边线积分为零

上下两条边上的场强与现原矢量的方向

平行或者反平行

所以场强的线积分一个是正值一个是负值

由于电场线的疏密表示场强的大小

所以上下两条边的场强的线积分的大小不等

从而不能完全抵消

因而场强沿距形环路的环流不为零

该电场不是静电场

静电场的环路定理除了说明静电场是保守场外

它还可以说明

静电场中的电场线不能构成闭合曲线

任意两根电场线都不会相交你能回答吗

提示一下根据做电场线的规定

电场上任意一点的切线方向

既为该点的电场强度E方向

因此若电场线能构成闭合曲线

或电场线能相交那么E的环流不等于零

这就与环路定理相违背的

由于静电场线不允许闭合

所以静电场就是无旋场

例如正的点电荷发出的电场线犹如济南的泉眼

或沐浴的喷头喷出来的水向四周发散

而负点电荷的电场线犹如洗手池子里的水

也径向流向下水口向下水口汇聚

还有一种矢量场犹如黄河中的漩涡

或象这里的水流在打转

形成一卷一卷闭合的场线

为了便于理解我们就以流体中的矢量场为例

速度矢量沿着任意圈的线积分

为速度的环量或环流

每一点水流的速度是沿圆的切线方向

所以

又设v在圆环线上任意点的大小一样

则可以把它提到积分符号之外

而这里的积分积出来就是圆周长2πr

即有旋场的环流不为零

而且速度越大速度的环流就越大

环流描述了v的旋转程度

我们后边介绍磁场就是有旋场

静电场是由静止电荷产生的电场是一个矢量场

静电场的高斯定理表明

静电场是有源场　源就是电荷

静电场的环路定理表明静电场是无旋场

两者结合

完整的描述了静电场作为一个矢量场的性质

静电场是有源无旋场

最后我们把上面的内容进行一下小结

首先我们证明静电场是保守场

静电力是保守力

接着我们导出了静电场的环路定理

电场强度也源于闭合路径的线积分等于零

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-电磁学引言

--电磁学引言

第一章 静电场

-1.1 库仑定律

--1.1.1A 电荷(1)

--1.1.1B 电荷(2)

--1.1.2A 库仑定律

--1.1.2B  库仑定律例题

--1.1.2C 库仑定律小议

--1.1.3 电力叠加原理

-1.1 库仑定律

-1.2 电场 电场强度

--1.2.1 电场

--1.2.2 电场强度

-1.2 电场 电场强度——小测验

-1.3 电场强度的计算(1)

--1.3.1 场强叠加原理与点电荷系的场强

--1.3.2 电偶极子场强

--1.3.3 连续带电体系的场强

--1.3.4 细棒场强

--1.3.5 走近闪电

--1.3.6 平板场强

-1.3 电场强度的计算(1)——小测验

-第一章 静电场--WEEK1 作业

-1.3 电场强度的计算(2)

--1.3.7 圆环场强

--1.3.8 圆盘场强

-1.3 电场强度的计算(2)——小测验

-1.4 电场线 电通量

--1.4.1 电场线

--1.4.2 电通量

-1.4 电场线 电通量——小测验

-1.5 静电场的高斯定理

--1.5.1 高斯定理

--1.5.2 高斯定理思考题

-1.5 静电场的高斯定理——小测验

-1.6 利用高斯定理求静电场的分布

--1.6.1 高斯定理应用1

--1.6.2 高斯定理应用2

--1.6.3 高斯定理应用3

--1.6.4 高斯定理应用4

--1.6.5 静电场强求解举例及小结

-1.6 利用高斯定理求静电场的分布——小测验

-第一章 静电场--WEEK2 作业

-1.7 静电场的环路定理 电势

--1.7.1 静电场的环路定理

--1.7.2 电势能

--1.7.3 电势

--1.7.4 电势差

-1.7 静电场的环路定理 电势——小测验

-1.8 场强积分法求电势

--1.8.1 点电荷的电势

--1.8.2 均匀带电球面的电势

--1.8.3 无限长均匀带电直线的电势

--1.8.4 静电除尘

--1.8.5 两道小例题及本讲小结

-1.8 场强积分法求电势——小测验

-1.9 电势叠加原理及电势的计算

--1.9.1 电势叠加原理

--1.9.2 点电荷系的电势例题

--1.9.3 电偶极子的电势

--1.9.4 均匀带电细杆延长线上的电势

--1.9.5 圆环轴线上的电势

--1.9.6 圆盘轴线上的电势

--1.9.7 两个同心均匀带电球面的电势

--1.9.8 均匀带电球层的电势

--1.9.9 电势计算小结

-1.9 电势叠加原理及电势的计算——小测验

-1.10 等势面 电势梯度

--1.10.1 等势面

--1.10.2 电势梯度

--1.10.3 由电势梯度求场强例题

-1.10 等势面 电势梯度——小测验

-1.11 静电场中的电偶极子

--1.11 静电场中的电偶极子

-1.11 静电场中的电偶极子——小测验

-第一章 静电场-- WEEK3 作业

第二章 静电场中的导体和电介质

-2.1 导体的静电平衡条件

--2.1.1 物质导电性能分类

--2.1.2 导体的静电平衡条件

-2.1 导体的静电平衡条件——小测验

-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布

--2.2.1 导体电荷分布1

--2.2.2 库仑定律的精确验证

--2.2.3 导体电荷分布2

--2.2.4 导体电荷分布3

--2.2.5 避雷针趣事

--2.2.6 范德格拉夫起电机

--2.2.7 场离子显微镜

-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布——小测验

-2.3 静电屏蔽

--2.3.1 静电屏蔽

--2.3.2 静电屏蔽的应用

-2.3 静电屏蔽——小测验

-2.4 有导体存在时静电场量的计算

--2.4.1 有导体时场量计算原则与例题1

--2.4.2 导体例题2

--2.4.3 导体例题3

--2.4.4 导体例题4

-2.4 有导体存在时静电场量的计算——小测验

-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK4 作业

-2.5 静电场中的电介质

--2.5.1 电介质对电场的影响

--2.5.2 电介质的极化

--2.5.3 电极化强度

-2.5 静电场中的电介质——小测验

-2.6 有电介质时的高斯定理

--2.6.1 电位移和有电介质时的高斯定理

--2.6.2 D的高斯定理的应用例1

--2.6.3 D的高斯定理的应用例2

--2.6.4 静电场的边界条件

-2.6 有电介质时的高斯定理——小测验

-2.7 电容 电容器

--2.7.1 孤立导体的电容

--2.7.2 电容器及其电容

--2.7.3 电容器家族简介

--2.7.4 电容器的连接

--2.7.5 电容的计算及平板电容器的电容

--2.7.6 电容器的应用举例

--2.7.7 柱形电容器的电容

--2.7.8 神经元的电容

--2.7.9 球形电容器的电容

--2.7.10 分布电容

-2.7 电容 电容器——小测验

-2.8 静电场的能量

--2.8.1 电容器的能量

--2.8.2 电容器的能量例题

--2.8.3 巧克力碎屑的秘密Ⅲ

--2.8.4 静电场的能量 能量密度

--2.8.5 静电场的能量例题

--2.8.6 核裂变能的估算

-2.8 静电场的能量——小测验

-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK5 作业

第三章 稳恒磁场

-3.1 稳恒电流

--3.1.1 磁学概述

--3.1.2电流 电流密度

--3.1.3欧姆定律的微分形式

--3.1.4电源和电动势

--3.1.5 巧克力碎屑的秘密Ⅳ

--3.1.6 案例研究

-3.1 稳恒电流——小测验

-3.2 磁场 磁感应强度

--3.2.1磁的基本现象

--3.2.2磁场和磁感应强度

--3.2.3磁感线

-3.3 毕奥—萨伐尔定律

--3.3.1毕奥--萨伐尔定律的内容

--3.3.2毕奥--萨伐尔定律的应用一

--3.3.3毕奥--萨伐尔定律的应用二

--3.3.4毕奥--萨伐尔定律的应用三

--3.3.5毕奥--萨伐尔定律的应用四

--3.3.6运动电荷的磁场

-3.3 毕奥—萨伐尔定律——小测验

-第三章 稳恒磁场--WEEK6 作业

-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理

--3.4.1磁场的高斯定理

--3.4.2安培环路定理

--3.4.3第四节应用一

--3.4.4第四节应用二

--3.4.5第四节应用三

--3.4.6第四节应用四

--3.4.7第四节应用五

-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理——小测验

-3.5 磁场对载流导线的作用

--3.5.1安培力

--3.5.2安培力例一

--3.5.3安培力例二

--3.5.4安培力例三

--3.5.5电磁炮

--3.5.6磁矩

--3.5.7磁力矩

--3.5.8磁力矩例题

-3.5 磁场对载流导线的作用——小测验

-3.6 磁场对运动电荷的作用

--3.6.1洛伦兹力

--3.6.2带电粒子在磁场中的运动

--3.6.3带电粒子在磁场中的运动（续）

--3.6.4霍尔效应

-3.6 磁场对运动电荷的作用——小测验

-第三章 稳恒磁场--WEEK7 作业

-3.7 磁场中的磁介质

--3.7.1磁介质分类

--3.7.2磁介质的磁化

--3.7.3磁化强度磁化电流

--3.7.4磁化强度磁化电流（续）

--3.7.5 H的环路定理

--3.7.6 第七节例一

--3.7.7 第七节例二

--3.7.8 铁磁质

第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组

-4.1 法拉第电磁感应定律

--4.1.1 法拉第电磁感应定律

--4.1.2 法拉第电磁感应定律例题

--4.1.3 楞次定律

-4.1 法拉第电磁感应定律——小测验

-4.2 动生电动势

--4.2.1 动生电动势定义

--4.2.2 动生电动势例题（一）

--4.2.3 动生电动势例题（二）

-4.2 动生电动势——小测验

-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK8 作业

-4.3 感生电动势及感生电场

--4.3.1 感生电动势及感生电场

--4.3.2 感生电场的计算

--4.3.3 电子感应加速器

-4.3 感生电动势及感生电场——小测验

-4.4 感生电动势例题

--4.4.1 感生电动势例题（一）

--4.4.2 感生电动势例题（二）

-4.4 感生电动势例题——小测验

-4.5 涡电流及电磁阻尼

--4.5.1 法拉第电磁感应定律再讨论

--4.5.2 法拉第的主要成就

--4.5.3 涡电流及电磁阻力

-4.5 涡电流及电磁阻尼——小测验

-4.6 互感与自感

--4.6.1 自感、自感电动势、自感系数

--4.6.2 自感例题

--4.6.3 互感、互感电动势、互感系数及例题

-4.6 互感与自感——小测验

-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK9 作业

-4.7 磁场的能量和能量密度

--4.7.1 磁场能量

--4.7.2 位移电流

-4.7 磁场的能量和能量密度——小测验

-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波

--4.8.1 普遍意义的安培环路定理

--4.8.2 电磁波

-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波——小测验

-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK10 作业

1.7.1 静电场的环路定理笔记与讨论

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