4.4.1 感生电动势例题（一）在线视频

前面

我们通过讨论

产生感生电动势的非静电力

是什么

得到了感生电场的

概念

正是由变化磁场

引起的感生电场

提供了

产生感生电动势的非静电力

前面我们也学习到了

当磁场分布

具有轴对称的时候

感生电场

分布具有相应的

轴对称性

我们就可以

通过感生电场的环路定理

计算出

空间感生电场的分布

如果我们知道了

空间感生电场的分布

就可以通过

感生电动势的定义

即

通过计算

感生电场的路径积分

来求出

某一回路

或者某一路径上

感生电动势的大小

下面我们就来看例题

例6

随时间变化的磁场

均匀分布于半径为R的

圆柱形区域内

磁场方向平行于轴线

我们看磁场分布具有对称性

求

半径oa线上的

感生电动势的大小

第二个问

求图中线段ab上

感生电动势的大小

求两个不同的路径上

感生电动势的大小

这里

我们知道

圆柱

磁场分布在圆柱形区域

具有轴对称

前面我们已经求解出了

这种情况下磁场变化时

空间感生电场的分布

我们知道

感生电场也有相应的对称性

即

感生电场线可以表示成

一组

同心圆环

而且感生电场的方向就是

在圆环上

沿着圆环的切线方向

下面首先我们来计算

半径oa上的感生电动势

首先我们这里写出

感生电动势的定义式

即可写为

感生电场的路径积分的形式

而这个路径积分

此时就沿着半径

oa的方向

前面我们已经讨论了

感生电场的对称性

及感生电场的场线

是同心圆环状的

而

每一个位置上

感生电场的方向

就是沿着

此圆环的切线方向

而现在我们计算的oa路径

是

从圆心到边缘a点的一个半径

所以半径

处处跟圆环的切线方向

垂直

也就是说

感生电场场线是以

轴线为中心的同心圆环

因此半径oa线上的感生电场

处处

与oa线垂直

其上的感生电动势

一定为0

从这里

我们可以得出一个结论

只要是

磁场

分布具有

轴对称

比如说在圆柱形的区域内

它激发的感生电场

因为是

同心圆环上的感生电场线

所以它在

半径方向

一定

不贡献

感生电动势

一定

不引起感生电动势

所有半径方向的感生电动势

都是0

这是第一个问

下面我们再看

第二个问

ab线上的感生电动势

我们同样写出感生电动势的

定义式

感生电场的路径积分

当然路径是沿着

我这里取从b到a的方向

而且我们在这个b到a的方向

任意取一个路径元dl

我们看dl处的

感生电场是什么方向

它是沿着

圆环同心圆环的

切线方向

我们做

连接

圆心O和dl

一个连线

它们之间的距离为r

那么这个

感生电场的方向就垂直于

O和dl的连线

它是沿着切线方向

所以垂直这个连线的

而感生电场

和dl的夹角我们设

为α

当然我们从圆心

可以做这个线段ab的垂线OP

而这个

这个O和dl的连线

和OP之间也有一个夹角

我们很容易看出

这个夹角也是α

下面我们来化简这个

表达式

把矢量化简成标量形式

就等于

而α就是感生电场和dl的

夹角α

前面我们已经计算了

当磁场分布在圆柱形区域内

均匀磁场

磁场随时间变化时

在

圆柱形区域内

产生的

感生电场

我们将那个表达式

带入这个积分当中

把感生电场就等于

同样我们把这个cosα

在这个三角形中

表达成OP/r

OP

就是设成a

这个a就是

圆心到ab线段的距离

应该是已知的

那么

我们再看这个积分

两个r相互约掉

那么就剩下

而a/2·dB/dt

它和路径积分无关

因此可以提到

积分号外面

然后就是对路径

从b到a的积分

它就等于

ba的长度

最后我们可以看出

感生电动势得到这个表达式

而a

是

圆心到ab的距离

垂直距离

ba就是

线段ab的长度

而a/2乘上ba

实际上我们可以看出

它就是三角形的面积

这个三角形的面积就是Oba

构成的一个三角形的面积

所以如果用

SΔ代表Oba

这个三角形的面积它就可以表达成

这个形式

这就是通过

感生电动势的定义式

计算得到了

ba这个线段上

感生电动势的大小

那么

从这个例子我们也可以看出

即使

路径

不构成闭合回路

我们也可以通过

感生电动势的定义式

计算

感生电场

线积分

得到

路径上

感生电动势的大小

这和

法拉第电磁感应定律

就不同

法拉第电磁感应定律

一定要求

存在一个闭合的回路

那么这里没有闭合回路

是否就不能用

法拉第电磁感应定律呢

有的时候

如果

所计算路径

不构成回路的时候

如果能够很方便的添加

辅助线

构成回路

我们也可以

利用

法拉第电磁感应定律

来进行计算

下面我们就来看

这个

这个问题的第二种解法

我们利用

法拉第电磁感应定律

来进行计算

当然我们就要添加辅助线

那么怎么添加辅助线呢

我们补上

两个半径

与ab构成回路

我们连接

半径ob连接半径oa

ob　oa

构成了一个回路

这个回路我们选择逆时针的方向

O　b　a　O

这就是一个回路

那么我们通过

由法拉第电磁感应定律

我们通过计算

穿过这个回路的

磁通量的时间变化率

就可以得到

回路中

感应电动势的大小

而回路中感应电动势的大小

可以看成是

三段路径

分别的

感应电动势的一个串联

就是一个叠加

它等于

三个部分的感应电动势加起来

就等于

又由于

Ob和Oa

是两段半径

前面我们已经

证明了

只要是

这种情况

半径上

不会产生感应电动势

即

εao和εob是等于0的

因此

计算出来的感应电动势的大小

就是ab上的感应电动势的大小

所以

然后我们把它用

感应电动势的表达式表达进去

微分号微进去

因为面积不随时间变化

所以就对时间微分

时间微分跟面积无关

所以可以提到积分号外面来

而对面积的积分

就是这个回路围成的面积

而回路围成的面积

就是三角形的面积

我们这里就得到了

和利用感生电动势计算出来的结果

相同的一个

结果

这个我们可以看到

两种方法

都可以计算

下面我们再看一道例题

这个例题

也是

磁场分布在

圆柱形的区域内

磁场随时间变化

磁场的方向沿着柱轴的方向

求

图中ab线段

上的感生电动势的大小

当然这里的ab

不处于

柱形区域内

它在柱形区域的外面

这里当然

我们也可以利用两种方法

计算感生电动势的大小

可以用感生电动势的

定义式

即通过感生电场的线积分

那么这个方法呢

和前面那个例子是相同的

只不过感生电场

分布

我们要用

柱外的

用磁场分布区域之外的

即r大于R的那个分布式来代表

一样可以计算出来结果

这里呢我们就利用

法拉第电磁感应定律来

看一下能否

用到这种情形

当然

法拉第电磁感应定律

一定要求构成回路

而这里

ab路径不构成回路

自然我们想到是否

可以添加辅助线

当然这个辅助线的添加

和前面的

一样

添加两个半径方向的

两个径向方向的

我们连接oa我们连接ob

这就构成了一个回路

我选择回路的方向

是逆时针方向oabo的方向

这个时候

回路中

激发的

感应电动势的大小

就可以用

法拉第电磁感应定律表达出来

它等于

而回路中

总的感应电动势的大小

又可以表达成

三段感应电动势大小之和

而

其中两段

oa和bo这两段我们知道

它又是径向的

而在这种情形下

感生电场

它的

对称性要求

它在

这个径向

不会

贡献感生电动势

也就是说

εoa和bo

它是

等于0的

所以计算出

通过法拉第电磁感应定律计算出的

回路中的感应电动势

就是所求的

ab线段上的感应电动势

那么当然

这里

磁通量的时间变化率

就涉及到

计算回路围成面积

磁场穿过它的通量

这里我们可以发现

因为磁场

分布在圆柱形区域内

它在

整个三角形面积上

不是处处都有磁场

而磁场

在这个三角形围成的面积里面

只存在于一个扇形的区域里面

所以我们只需要计算

扇形区域的

磁通量的变化率

就可以得到

回路中

感应电动势的大小

就可以得到ab上感应电动势的大小

当然

这个扇形的区域

不随时间而变化

所以可以拿到

积分号外面来

所以最后的结果就是

和前面一道相似

前面一道

乘的是一个三角形的面积

这里乘的是一个扇形区域的面积