当前课程知识点:大学物理——电磁学 > 第三章 稳恒磁场 > 3.3 毕奥—萨伐尔定律 > 3.3.3毕奥--萨伐尔定律的应用二
现在我们来看例2
如图所示
真空中宽为b的无限长金属薄板
电流为I
且沿宽度方向均匀分布
P点
在过金属板中分线的垂线上
到板的距离为d
P’点与金属板共面
到金属板中分线的距离为a
求P点和P’点的磁感应强度
在求解这道问题之前
同学们思考一下
电流元如何来选
给大家一点提示
我们可以利用上一道例题的结果
来求解这道问题
上一题中
我们得到了无限长直电流
所产生的磁场
在本例中
电流均匀流过一个平面
我们把这样的电流称为面电流
对于无限长面电流
可以把它看成是由许多无限长的
直线电流组成的
只要求出每个直电流
在场点所产生的磁场
利用叠加原理就可以求出
整个面电流的磁场
首先
我们建立如图所示的坐标系
原点在中分线上
P点在y轴上
坐标为d
P’点在x轴上 坐标为a
在x坐标处
取宽为dx
无限长
且平行于金属板中分线的窄条
视为无限长载流直导线
其上电流为
其中
I/b为通过与电流方向垂直的
单位长度的电流
所以
dx宽度的窄条流过的电流为
I除以b乘以dx
设P点到这一直电流的距离为r
则根据上一题的结果
此直电流在P点产生的磁感应强度为
等于
这里r等于
dB的方向在xy平面内且垂直于
从直电流指向P点的径矢r
由于不同的窄条电流
在P点产生的dB的方向不同
所以不能对dB的大小直接积分
需要求出dB的x y分量
分别积分
设dB与x方向之间的夹角为θ
由于dB垂直于r
x方向与y轴垂直
所以这个夹角也为θ
因此dB的x分量
等于
这里cosθ等于
整理后得到
dB的y分量
等于
这里sinθ等于
整理后得
dBy等于
因此
P点处总磁感应强度的x分量
就是dBx对整个金属薄板积分
也就是
等于
这里积分下限是负b/2
是窄条电流x坐标的最小值
积分上限是b/2
是窄条电流x坐标的最大值
计算得出
Bx等于
P点处总磁感应强度的y分量
就是dBy对整个金属薄板积分
也就是By等于
计算得出By等于0
所以
P点处总磁感应强度B的大小
就等于它的x分量Bx
等于
B的方向沿x方向
也就是平行于载流金属薄板
实际上
By等于零
可由电流分布的对称性分析得到
这张图是垂直于电流方向的
金属薄板的剖面图
在中分线两侧的对称位置
选取两个等宽度的电流窄条
通过它们的电流相等
P点到两窄条的距离也相等
所以两电流在P点
产生的磁感应强度的大小相等
由于dB垂直于P到dI的垂线
dB’垂直于P到dI’的垂线
所以dB和dB’关于x方向对称
它们的y分量恰好相互抵消
整个金属薄板
是由一对对这样对称的
电流窄条组成的
所以所有dB的y分量
都抵消掉了
总磁感应强度的y分量
By就等于零
这种对称性分析的方法
可以大大减少计算量
是物理学常用的方法之一
希望同学们在学习过程中慢慢体会
对于P’点
电流窄条所产生的
磁感应强度的大小为
等于
这里a-x是P’点到窄条的距离
其方向根据右手定则
判定是垂直于金属板向下
所以用叉来表示
由于所有的窄条在P’点
产生的磁感应强度的方向相同
所以P’点的总磁感应强度
就是dB对整个金属薄板积分
也就是
计算得出B等于
方向垂直于金属板向下
现在我们对P点的磁感应强度
作进一步的讨论
当d远远大于b
也就是在距离金属薄板很远处
场点到板的距离
远远大于板的宽度时
由于b/2d很小
所以
把这一结果带入B的公式中可以得到
这个结果
与载有电流I的直电流磁场的
磁感应强度的结果是一样的
所以在很远处
有宽度的无限长金属薄板
可以视为
载有相同电流的无限长直导线
当d远远小于b
也就是在距离
金属薄板中心线很近处
场点到板的距离
远远小于板的宽度
此时金属板可视为无限大
由于b/2d趋于无穷大
所以
带入B的公式中可以得到
如果我们定义
通过与电流方向垂直的
单位长度的电流I/b
为面电流密度
用j来表示
也就是
那么
B就等于
注意
这一结果和场点到板的距离无关
各场点处B的方向
都平行于金属板
在这张金属板的剖面图中
圆点表示电流垂直于屏幕流出
则金属板上方的磁感应强度方向
指向大家的左侧
金属板下方的磁感应强度方向
指向大家的右侧
也就是说
无限大载流平面两侧的磁场
大小相等 方向相反
两侧都是均匀磁场
请同学们记住这一结果
我们在下一节
还要利用安培环路定理
来求解这一问题并进行比较
-大学物理绪论
--大学物理绪论
-电磁学引言
--电磁学引言
-1.1 库仑定律
-1.1 库仑定律
-1.2 电场 电场强度
--1.2.1 电场
-1.2 电场 电场强度——小测验
-1.3 电场强度的计算(1)
-1.3 电场强度的计算(1)——小测验
-第一章 静电场--WEEK1 作业
-1.3 电场强度的计算(2)
-1.3 电场强度的计算(2)——小测验
-1.4 电场线 电通量
-1.4 电场线 电通量——小测验
-1.5 静电场的高斯定理
-1.5 静电场的高斯定理——小测验
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布——小测验
-第一章 静电场--WEEK2 作业
-1.7 静电场的环路定理 电势
--1.7.3 电势
-1.7 静电场的环路定理 电势——小测验
-1.8 场强积分法求电势
-1.8 场强积分法求电势——小测验
-1.9 电势叠加原理及电势的计算
-1.9 电势叠加原理及电势的计算——小测验
-1.10 等势面 电势梯度
-1.10 等势面 电势梯度——小测验
-1.11 静电场中的电偶极子
-1.11 静电场中的电偶极子——小测验
-第一章 静电场-- WEEK3 作业
-2.1 导体的静电平衡条件
-2.1 导体的静电平衡条件——小测验
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布——小测验
-2.3 静电屏蔽
-2.3 静电屏蔽——小测验
-2.4 有导体存在时静电场量的计算
-2.4 有导体存在时静电场量的计算——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK4 作业
-2.5 静电场中的电介质
-2.5 静电场中的电介质——小测验
-2.6 有电介质时的高斯定理
-2.6 有电介质时的高斯定理——小测验
-2.7 电容 电容器
-2.7 电容 电容器——小测验
-2.8 静电场的能量
-2.8 静电场的能量——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK5 作业
-3.1 稳恒电流
-3.1 稳恒电流——小测验
-3.2 磁场 磁感应强度
--3.2.3磁感线
-3.3 毕奥—萨伐尔定律
-3.3 毕奥—萨伐尔定律——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK6 作业
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理——小测验
-3.5 磁场对载流导线的作用
--3.5.1安培力
--3.5.5电磁炮
--3.5.6磁矩
--3.5.7磁力矩
-3.5 磁场对载流导线的作用——小测验
-3.6 磁场对运动电荷的作用
-3.6 磁场对运动电荷的作用——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK7 作业
-3.7 磁场中的磁介质
-4.1 法拉第电磁感应定律
-4.1 法拉第电磁感应定律——小测验
-4.2 动生电动势
-4.2 动生电动势——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK8 作业
-4.3 感生电动势及感生电场
-4.3 感生电动势及感生电场——小测验
-4.4 感生电动势例题
-4.4 感生电动势例题——小测验
-4.5 涡电流及电磁阻尼
-4.5 涡电流及电磁阻尼——小测验
-4.6 互感与自感
-4.6 互感与自感——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK9 作业
-4.7 磁场的能量和能量密度
-4.7 磁场的能量和能量密度——小测验
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK10 作业