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集合的界的概念在线视频

集合的界的概念

下一节:例1.1.1

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集合的界的概念课程教案、知识点、字幕

同学们 大家好

今天我们来学习第一章

实数与函数

有的同学可能会问实数与函数

我们在中学就学过

为什么微积分课程中还要讨论呢

中学里边我们对一般的

抽象函数以及反函数

反三角函数 包括函数的有界性

等等内容涉猎的不是足够的深入

在微积分课程中

这些内容都是基本的工具

所以 我们在第一章

将这些内容做适当的扩展与加深

那么为我们后边学好微积分

打下一个基础

这里要特别强调的是

不等式是我们微积分中

重要的工具

那么我们在本章的最后

也要对不等式的内容

做适当的扩展与加深

下面让我们一起来进入第一章的学习吧

同学们 大家好

今天我们来学习第一章

实数与函数

首先我们来看一下第一节的内容

也就是实数级的界与确界

首先我们来回顾一下界 确界的定义

首先我们来看一下上界与下界的定义

这里我们假设A是实数集的子集

若存在M是实数

任意的X属于A

X均小于等于M

我们称M为集合A的上界

类似我也可以定义集合的下界

那么大家由定义就可以看出

如果集合的上界或下界

存在的话

一定是不唯一的

比方说M为集合A的上界

那么比M大的实数也均为集合A的上界

下面我们来看一下无上界

无下界应该怎样描述呢

下面我们看集合A有上界是存在M属于R

任意的X属于A

X均小于等于M

那么什么叫做集合A无上界呢

这里边我们就把这句话呢

进行一个否定

那么存在一个M属于R

使得后面这件事成立

反面就是任意的M属于R

使得后面这件事不成立

那么后边这件事成立是A中的所有元素

均小于等于M

那么反过来就是均存在一个X属于A

使得X大于M

这样我们就描述了无上界

大家来具体分析一下

什么叫做无上界呢

我给一个M属于R

在A中能找到一个实数

使得X比M大

那么我M举得再大一点

那么仍然能够找到A中的一个实数X

使得X比M大

我给这个M不管多么大

总能够找到一个比他大

这样就描述了实数级A无上界

类似的

我们也可以讨论无下界

下面我们来看有界的概念

既有上界 又有下界的数集

我们也称为有界集合

那么也就是说既存在A 也存在B

属于R

任意X属于A X均在AB之间

这就是既有上界 也有下界

在实际中我们可以使用这个定义

那么更一般的

我们对有界集合采用另一个定义来描述

我们也经常这样说

存在一个M大于0 任意的X属于A

X的绝对值均小于等于M

那么大家来看 这两个定义

是否是等价呢

当然 如果说上面这个定义是成立的

我们来看下面这个定义

是否成立呢

那也就是第一条

我推第二条

那第一条如果成立的话

我们看取M等于A的绝对值

和B的绝对值的最大值

比方说这里X均等于大于A

小于等于B

那么这里我一定推出X的绝对值

是小于等于A的绝对值

和B的绝对值的最大值

那么我定其为M

这样我们应该找到了一个M是正数

好 第二 我们看如果反过来

二推一的话 是否也成立呢

也就是说如果X的绝对值

是小于等于M的

那么X自然是大于等于负M

小于等于正M的

那么这个其实负M就是它的一个下界

正M就是它的一个上界

所以在描述有界性的时候

我们更多的

采用的是第二种

当然 这两个定义都是等价的

好 下面我们来看几个有关

有界性的例子

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

集合的界的概念笔记与讨论

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