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确界的定义

下一节:例1.1.2

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确界的定义课程教案、知识点、字幕

下面我们来看一下集合的确界

大家知道如果一个集合A有上界

那么上界是不唯一的

我们将其最小上界

定义为他的上确界

用supA来表示

类似的 如果一个集合有下界

我们将下界的最大者

称为下确界用infA来表示

好 我们用另一种严格的数学语言

来给出上确界与下确界的定义

那么我们给出定义

如果小A是数集A的上确界

那么有两点 大家看第一点

首先它是一个上界

第二 要描述它是上界中最小的

如何来描述呢

大家看第一 它是上界

那言外之意

就是任意的X属于A

X均小于等于小a

第二 它是上界中的最小者

那如何描述最小呢

也就是说我们看任给一个∈大于0

那么既然A是最小的上界

我们将A稍微再剪掉一点点

那这样他就不再是上界了

不再是上界的意思

就是存在一个X属于A

X大于A减∈

这样我们就用不等式的方法

给出了上确界的定义

那么在后面我们将用这两条

来描述一个数是一个集合的上确界

下确界你能描述出来吗

大家可以自己试一试

好 我们看一看上下确界

有哪些性质

首先我们来看确界的存在性

这里有一个定理

就是确界存在定理

那么这个定理实际上

是可以证明的

在微积分的课程中

我们一般把它叫做确界存在公理

也就是说不加证明的来承认这件事

也就是说有上界的实数集

它一定存在上确界

有下界的实数集

也一定存在下确界

所以在上下确界中

我们说最小的上界

最大的下界

这个存在性

首先是没有问题的

那么如果存在

为什么就唯一呢

我们来看一看

这里比方说

如果小a是集合A的下确界

小B也是集合A的下确界

那么大家看下确界是下界中的最大者

下确界也是一个下界

所以首先我们来看b是下确界的话

b也是一个下界

那么a是下确界

a是下确界中的最大者

那么自然就有a大于等于b

类似的a是下确界

那么a也是集合A的下界

b是集合A的下确界

那么是下界中的最大者

b也大于等于a

这样我们就推出了a等于b

这样就说明了确界如果存在

一定是唯一的

最后我们来看一下确界和最值的关系

那么确界我们以上确界为例

我们假设a是集合A的上确界

当然大家知道上确界也是上界

也就是任意x属于A

x均小于等于a

那么如果我们这样说

如果A在集合A中

那么这个等号就可以取到

也就是x在a中的时候

它均小于等于a

那么它还有等于a的时候

那这样的话

我们就可以说a为这个集合的最大值

那么我们用最大值的符号

x属于a

好 这样我们就得到了确界和最值的关系

如果上确界在集合中

那么这个集合的最大值

就是上确界

类似的下确界有相应的结论

下面我们来看几个跟确界有关的例子

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

确界的定义笔记与讨论

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