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例1.1.7

下一节:映射与函数定义

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例1.1.7课程教案、知识点、字幕

最后 我们再来看一个

关于确界的练习题

AB为非空有界数集

我们假设A交B非空

那么有四个相应的结论

A并B的下确界

等于A的下确界与B的下确界的最小值

A并B的上确界

等于A的上确界与B的上确界的最大值

而A交B集合的下确界

是大于等于A的下确界

为B的下确界的最大值

同样 A交B上确界

小于等于A的上确界

与B的上确界中的最小值

好 大家看到

A并B最后我们都划了等号

而A交B的结论都划的是不等号

那么结论呢

我们给大家摆在这

我想这个证明的思路都差不多

我们只证其中的二和三

一和四请大家自己模仿练习

好 我们来首先证明一下这个结论

这里为了方便呢

我们还是令A集合的上确界得小a

B集合的上确界得小b

那么呢 不妨设a大于等于b

最后呢 我们实际上只要证明

A并B的上确界等于A即可

好 我们来看一看

任给Z属于A并B

首先呢要证明A是上界

那么这里讨论一下

若Z呢来自于集合A

那Z是小于等于其上确界a的

若Z是属于B

那么Z也小于等于集合B的上确界小b

同时也小于等于a

下面我们再看如何证明它是上界中的最小者

我们看任给ε大于0

由于呢 A集合的上确界是小a

自然存在一个Xε属于A

使得Xε是比a减ε要大

也就是说上确界稍微减一点

就不再是上界了

但是这里啊大家注意一件事

A集合是包含在A并B这个集合中的

也就是说我把重要的部分

用蓝颜色的笔画一画

任给一个ε大于0

我现在找到了一个Xε在A并B中

使这个Xε大于A减ε

这样大家连起来一读

就已经说明了a是A并B集合上界中的最小者

所以 我们就有结论

A并B这个集合的上确界

就等于小a

那么其实呢

也就是A集合的上确界

与B集合上确界中的最大者

我们再来看一下第三个命题的证明

这里还是令A集合的下确界等于小a

B集合的下确界等于小b

那么这里呢我们仍不妨设

a大于等于b

这样我们只需要证明A交B的下确界

大于等于a即可

好 那么我们看一看

任意的Z属于A交B

那么既然是A交B了呢

Z啊 既属于A

同时Z也属于集合B

好 它属于A它就大于等于a

它属于B 它也大于等于b

那么这里又由于a大于等于b

那两件事同时要满足

故 也就是Z大于等于a

这就说明了

即a为集合A交B的一个下界

大家知道下确界是什么

下确界是下界中的最大者

那么则这个集合的下确界

自然就要大于等于a

事实上 这个a我们刚才说了

它就是A集合与B集合下确界的最大者

这道题我们就证完了

但大家可以想一想

为什么这里是大于等于号

而不是等于号

刚才那个问题为什么可以取等

大家回顾一下

刚才我们证明时

存在一个Xε属于A

属于A就一定在A并B中

那么这里如果存在一个Xε属于A

在A中 它并不一定在A交B中

所以我们没有第二步的结论

只能证到此为止

那么同样 我们也可以举一个具体的例子

来说明等号有时的确是取不到的

那么只能取大于号

比方说这个例子

这里我举一个A集合

比方说等于1 2 3 5

B集合等于0 3 5 8

那么大家看此时A集合的下确界

是1

B集合的下确界是0

那么我们再看一看

A交B这个集合

大家看A交B这个集合

现在是3和5

也就是A交B这个集合的下确界

是3

大家看这样A交B的下确界是3

既不是1 也不是0

等号的确取不到

什么原因呢

如果我们举的例子

都是这样的有限集

大家看A集合的下确界是1

B集合的下确界是0

有可能在A交B的过程中

我们运算后0和1都不在A交B中

这样 下确界这个等号

就取不到了

好 确界相关的问题

我们就讨论到这

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例1.1.7笔记与讨论

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