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例2.2.5

下一节:例2.2.7

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例2.2.5课程教案、知识点、字幕

下边我们再来解决两个极限问题

这两个极限问题长得比较像

都是跟三角函数相关的问题

首先我们来看左边这一个

求这样一个极限 n趋无穷时

sin根号下n方加1乘以π的平方

这个极限

那么在这里我们首先来分析一下

这里大家看到了根号下n方加1

随着n的增大

n方要远远大于1

那么n方加1啊

我们直观的来看

它基本上就和n方是差不多大小的

根号下n方加1乘以π

基本上就和n派是差不多大小的

那这时它的sin值

应该我们预计 应该是0

这是我们首先有一个预期

那如何来严格的把它写出来呢

大家注意到y等于sinx的平方

这个函数它的周期是π

所以这里我们直接先减去一个它的周期

这就是sin平方

那么里边就变成了

根号下n方加1π减去一个nπ

好 这时我们就可以利用有理化

这里边是分子有理化

那这是什么呢

这不是别人是根号下n方加1加上n

分子就是1了 那再乘一个π

好 我们目前只讲的是数列极限

当大家讲到函数极限时

知道正弦函数是连续函数

可以将极限取进去

那么在这里

我们可以用另一个观点去解释它

在中学里有一个著名的不等式

也就是sinx的绝对值

小于等于x的绝对值

所以这里我们有相应的不等式

也就是sinπ比上根号下n方加1加n

它的平方是小于等于这个表达式

π比上根号下n方加1加n

小于等于这个的平方

我们再由夹挤原理

此时右端n趋无穷时极限是0

那么这个表达式又是非负的

它的极限也为0

这样我们就求解完这个问题

它是0

后边这个极限

我们可以用相同的思路来处理

我们一样减一个nπ

然后呢 再有理化

这里我稍微跳跃一下

它直接就可以写成

根号下n方加n加n分之n倍的π

然后我们上下除以n

当n区域无穷时

这里呢就是sin平方

分子就是π了

分母我除以n之后

就变成了根号下1加n分之1

外边再加一个1

此时 后边这个表达式

极限是2分之π

那么我们利用后边的知识

sin是一个连续函数

n区无穷时

这个极限就是sin2分之π的平方

最终答案是1

好 这两个问题用到的都是相同的思路

我们这样再表达式里边

减去这个函数的周期

利用有利化的方法来说明极限

好 这个题目我们就讨论到这

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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--Video

-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

--Video

--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.5笔记与讨论

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