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例1.1.5

下一节:例1.1.6

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例1.1.5课程教案、知识点、字幕

下面我们再看一个具体的小问题

这里AB为非空有界的实数集

那么定义A加B

这是一个新的集合了

也就是说把A中的元素

和B中的元素都加起来

证明A加B这个集合的上确界

等于A的上确界加B的上确界

A加B这个集合的下确界

等于A的下确界

加B的下确界

这两个证明也是完全类似的

我们这样谨证第二个

第一个留给大家自己练习

好 下面我们来看具体的证明过程

我们来证一下

要证A加B这个集合的下确界

等于A的下确界加B的下确界

这里我们要引入几个小的符号

首先呢 我们令吧

A集合的下确界得小a

B集合的下确界得小b

那么大家看 首先下确界也是下界啊

也就是说即任意的X属于A

x均大于等于a

同时 任意的Y属于B y也要大于等于b

第二呢 你要注意它是下界中的最大者

那么任给一个ε大于0

好 由于是下确界啊

我们存在一个xε属于A

使得xε是小于a加ε

那么当然 对同样这个ε来说

我们也存在一个yε属于B

这样yε就小于b加ε

下面我们来看A加B这个集合的下确界

具体是谁呢

好 那么我们任给一个Z属于A加B

那么大家看 这个Z肯定能够写成某一个x和某一个y

其中这个x是来自于A

这个y啊是来自于B

那么大家看x是大于等于A

y大于等于B

那么Z就大于等于a加b

即a加b为集合A加B的一个下界

它为它的一个下界

好 下面我们再看

任给一个ε大于0

那么这里我们存在一个Zε

这个Zε不是别人

就是xε加yε

当然它肯定是在A加B中的

因为前者属于A 后者属于B

那么这个Zε大家再看

它是小于a加B 加两倍ε的

我们刚刚讨论完

确界的一个等价的定义

大家知道这一块

小于两倍的ε

也就是小于一个正的常数乘个ε

这也算我们证出了a加b是下界中的最大者

那么如果你对这个2ε不太满意

那怎么办呢？

那实际上你可以在最开始讨论的时候

在这你就不要用ε

你在这可以用2分之ε

这样他们加起来就出现你期望的ε

好 这样我们就得到了

故 A加B这个集合的下确界

等于小a加小b

也就是A集合的下确界

加B集合的下确界

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例1.1.5笔记与讨论

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