当前课程知识点：高等数学习题课 > 第三章 函数极限 > 第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量 > 例3.2.2
下面我们来看第二个例子
第二个例子呢
也是求复合函数的极限
那么这里fu gx
这里给了两个分段的函数
长我们求复合之后x趋向于1的极限
第二问呢
让我们复合之后求x趋向于0的极限
好 我们来直接先求解第一个
当x趋向于1时
f复合g这个函数的极限
那么当x趋向于1时
大家看我们首先要看gx的表达式
在这里
什么叫做x趋向于1呢
这里这叫x不等于1而趋向于1
所以x趋于1时
gx它取的表达式是第二段
所以此时啊
这个gx就是0
这里我们还没有求极限呢
仅仅是整理了一下表达式
下面我们继续求
那么f0是谁呢
f0大家一看不是别人
f0就是1
现在我可以取极限了
当然 1的极限还是1
好 这样我们就求得了这个函数的极限为1
那么这里既然是复合函数
我们来看看
它是否可以由复合函数的极限去求解呢
这里我们看当x往1跑的时候
gx往谁跑
你看x往1跑的时候
x是不得1而趋1
gx是往0跑的
那么大家再看那我u往0跑的时候
fu往哪走
u往0跑的时候
大家注意到了
由于u是不得0而趋于0的
所以这里fu取的是第二段的值
是0
那么好 极限值当然还是0
大家看 和我们意想中的结果
是不一样的啊
这里就糟糕了
糟糕在哪呢
当x往1跑 gx往0跑
当u往0跑而fu也往0跑
那么最后我们复合完之后
极限是1
这里是什么原因呢
那么大家看这里u趋向于0
是不得0而趋向于0的
那么大家发现了
当x接近于1时
也就是不得1而接近于1时
这个gx啊
就已经恒为0了
这里恰好是复合函数求极限
我们需要增加的那个条件在这个问题中是不满足的
从而 得到了这两种方法求得的极限
是不一样的
那么当然显然第二种是不对的
从而也说明了我们在复合函数极限中
x不得x0时
gx不得u0这个条件
是必不可少的
下面我们来继续看第二个问题
当x趋向于0时
让我们求fgx这个函数的极限
那么大家看x趋向于0时
我们先看gx的形式
是不等于0而趋向于0
所以这里采用的是第二段表达式
我这里只是做了一个整理啊
大家看这是x乘以sinx分之1
好 下面我们看x趋向于0时
我们来看这个表达式的值
前者这个x是趋向于0的
是无穷小量
后者是有界变量
有界变量乘以无穷小量
还是无穷小量
所以这一部分的极限是0没有问题
但是 我现在想看看它的表达式是在第一段 还是第二段呢
这里就要糟糕了
糟糕在哪呢
这里x趋向于0
当然是不等于0而趋向于0的
所以前边这个x是是非0的
但是x趋向于0
大家看 x分之1是趋向于无穷的
那么sinx分之1
就有可能一会儿等于0
一会儿不等于0
那么这个表达式
就可能一会儿选择第一段
一会儿选择第二段
这样我们猜测这个函数极限
有可能啊是不存在的
那么如何说明这个函数极限
是不存在的呢
我们当然要用归结原则
或者说叫海涅定理
我们取一个特殊的子列
n趋无穷时
比方说这里是f
那么我取一个子列
是2nπ加2分之π分之1
sin 那么它的倒数就是2nπ加2分之π
好 大家知道这个值啊
现在它就是2nπ加2分之π分之1
是不为0的所以这个表达式的值
就是0 其极限也是0
我们再看当n趋向于无穷时
我们再找另一个特殊的子列
那么取个2nπ分之1吧
这里这就是sin2nπ
当n趋于无穷时
这里边的值就是0啊
所以 这f0就是1
好了 取了极限是1
这样我们就找到了两个趋向于0的子列
n趋无穷
他们的极限不同
由归结原则
我们就得到了这个函数的极限
不存在
那么我们分段来求呢
大家看这了
当x趋向于0时
这里gx的值是谁呢
我们看一看
这里x是不得0而趋向于0的
所以这里取的是第二段表达式
我们带进来看一看
这也就是说
这是x乘以sinx分之1
我们前面说过了
这是有界变量
乘以无穷小量 极限是0
而后边的u趋向于0时
我们再看fu
因为这个表达式是往0跑的
那我们看看fu
u趋向于0时
指的是不得0而趋于0
大家看这是fu取的是第二段表达式
是0
当然 极限是0
我们看这里x往0跑时
gx往0跑
而u往0跑时
fu也往0跑
而这个问题我们最终说明了极限
是不存在的
为什么不是0呢
当然 原因还在这
原因在哪呢
原因不在别的地方
这里u趋向于0
指的是u不等于0而趋于0
而大家看到
这个表达式和刚刚的表达式不一样
刚刚在第一问中这个值恒等于0
现在在第二问中
这个x是不得0的
但是x分之1趋于无穷
sinx分之1就一会儿等于0
一会儿不等于0
一会儿等于0 一会儿不等于0
所以它经常会由等于0的情况
通过这两个例子
我们深刻的感受到
符合函数求极限时
x不得x0时
gx不得u0这个条件
十分的重要
好 这个例子我们就讲到这里
-课程序论
--课程序论
-第1节 集合的界与确界
--集合的界的概念
--例1.1.1
--确界的定义
--例1.1.2
--例1.1.3
--例1.1.4
--例1.1.5
--例1.1.6
--例1.1.7
-第1节 练习题--作业
-第2节 函数的性质
--映射与函数定义
--反函数
--例1.2.1
--例1.2.2
--例1.2.3
--例1.2.4
--例1.2.5
--例1.2.6
--例1.2.7
--函数的性质
--例1.2.8
--例1.2.9
--例1.2.10
--例1.2.11
--例1.2.12
--例1.2.13
--例1.2.14
-第2节 练习题--作业
-第3节 几个不等式
--不等式
--重要不等式
-第1节 数列极限的定义
--数列极限的定义
--例2.1.1
--例2.1.2
--例2.1.3
--例2.1.4
--例2.1.5
--例2.1.6
--例2.1.7
--子数列的极限
--例2.1.8
--例2.1.9
--数列极限的性质
--例2.1.10
--例2.1.11
-第2节 数列极限存在的充分条件
--四则运算法则
--例2.2.1
--例2.2.2
--例2.2.3
--夹挤准则
--单调有界定理
--重要极限
--例2.2.4
--例2.2.5
--例2.2.7
--例2.2.8
--例2.2.10
--例2.2.11
--例2.2.12
--无穷大量
--例2.2.13
-第2节 练习题--作业
-第3节 实数理论
--Video
--区间套定理
--定义总结
--例2.3.1
--例2.3.2
--例2.3.3
--例2.3.4
--例2.3.5
--例2.3.6
--例2.3.7
--例2.3.8
--例2.3.9
-第一次单元测试--作业
-第1节 函数极限的定义与性质
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--例3.1.7
--海涅定理1
--海涅定理2
--例3.1.8
--例3.1.9
--例3.1.10
-第1节 练习题--作业
-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量
--复合函数的极限
--例3.2.1
--例3.2.2
--例3.2.3
--例3.2.4
--例3.2.5
--例3.2.6
--Video
--无穷大量
--例3.2.8
--例3.2.9
--例3.2.10
-第2节 练习题--作业
-第二次单元测试--作业
-第1节 函数的连续性
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-第1节 练习题--作业
-第2节 闭区间连续函数的性质
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-第2节 练习题--作业
-第3节 函数的一致连续性
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-第3节 练习题--作业
-第三次单元测试--作业
-第1节 数项级数
--引言
--例1
--例2
--例3
--例4
--例5
--例6
--例7
--例8
--例9
--例10
--例11
--例12
--例13
--例14
-第1节 重积分（6月14日之前看完）
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--Video
-期末考试--结课考试
