当前课程知识点：高等数学习题课 >  第三章 函数极限 >  第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量 >  例3.2.2

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例3.2.2

下一节:Cauchy收敛准则

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例3.2.2课程教案、知识点、字幕

下面我们来看第二个例子

第二个例子呢

也是求复合函数的极限

那么这里fu gx

这里给了两个分段的函数

长我们求复合之后x趋向于1的极限

第二问呢

让我们复合之后求x趋向于0的极限

好 我们来直接先求解第一个

当x趋向于1时

f复合g这个函数的极限

那么当x趋向于1时

大家看我们首先要看gx的表达式

在这里

什么叫做x趋向于1呢

这里这叫x不等于1而趋向于1

所以x趋于1时

gx它取的表达式是第二段

所以此时啊

这个gx就是0

这里我们还没有求极限呢

仅仅是整理了一下表达式

下面我们继续求

那么f0是谁呢

f0大家一看不是别人

f0就是1

现在我可以取极限了

当然 1的极限还是1

好 这样我们就求得了这个函数的极限为1

那么这里既然是复合函数

我们来看看

它是否可以由复合函数的极限去求解呢

这里我们看当x往1跑的时候

gx往谁跑

你看x往1跑的时候

x是不得1而趋1

gx是往0跑的

那么大家再看那我u往0跑的时候

fu往哪走

u往0跑的时候

大家注意到了

由于u是不得0而趋于0的

所以这里fu取的是第二段的值

是0

那么好 极限值当然还是0

大家看 和我们意想中的结果

是不一样的啊

这里就糟糕了

糟糕在哪呢

当x往1跑 gx往0跑

当u往0跑而fu也往0跑

那么最后我们复合完之后

极限是1

这里是什么原因呢

那么大家看这里u趋向于0

是不得0而趋向于0的

那么大家发现了

当x接近于1时

也就是不得1而接近于1时

这个gx啊

就已经恒为0了

这里恰好是复合函数求极限

我们需要增加的那个条件在这个问题中是不满足的

从而 得到了这两种方法求得的极限

是不一样的

那么当然显然第二种是不对的

从而也说明了我们在复合函数极限中

x不得x0时

gx不得u0这个条件

是必不可少的

下面我们来继续看第二个问题

当x趋向于0时

让我们求fgx这个函数的极限

那么大家看x趋向于0时

我们先看gx的形式

是不等于0而趋向于0

所以这里采用的是第二段表达式

我这里只是做了一个整理啊

大家看这是x乘以sinx分之1

好 下面我们看x趋向于0时

我们来看这个表达式的值

前者这个x是趋向于0的

是无穷小量

后者是有界变量

有界变量乘以无穷小量

还是无穷小量

所以这一部分的极限是0没有问题

但是 我现在想看看它的表达式是在第一段 还是第二段呢

这里就要糟糕了

糟糕在哪呢

这里x趋向于0

当然是不等于0而趋向于0的

所以前边这个x是是非0的

但是x趋向于0

大家看 x分之1是趋向于无穷的

那么sinx分之1

就有可能一会儿等于0

一会儿不等于0

那么这个表达式

就可能一会儿选择第一段

一会儿选择第二段

这样我们猜测这个函数极限

有可能啊是不存在的

那么如何说明这个函数极限

是不存在的呢

我们当然要用归结原则

或者说叫海涅定理

我们取一个特殊的子列

n趋无穷时

比方说这里是f

那么我取一个子列

是2nπ加2分之π分之1

sin 那么它的倒数就是2nπ加2分之π

好 大家知道这个值啊

现在它就是2nπ加2分之π分之1

是不为0的所以这个表达式的值

就是0 其极限也是0

我们再看当n趋向于无穷时

我们再找另一个特殊的子列

那么取个2nπ分之1吧

这里这就是sin2nπ

当n趋于无穷时

这里边的值就是0啊

所以 这f0就是1

好了 取了极限是1

这样我们就找到了两个趋向于0的子列

n趋无穷

他们的极限不同

由归结原则

我们就得到了这个函数的极限

不存在

那么我们分段来求呢

大家看这了

当x趋向于0时

这里gx的值是谁呢

我们看一看

这里x是不得0而趋向于0的

所以这里取的是第二段表达式

我们带进来看一看

这也就是说

这是x乘以sinx分之1

我们前面说过了

这是有界变量

乘以无穷小量 极限是0

而后边的u趋向于0时

我们再看fu

因为这个表达式是往0跑的

那我们看看fu

u趋向于0时

指的是不得0而趋于0

大家看这是fu取的是第二段表达式

是0

当然 极限是0

我们看这里x往0跑时

gx往0跑

而u往0跑时

fu也往0跑

而这个问题我们最终说明了极限

是不存在的

为什么不是0呢

当然 原因还在这

原因在哪呢

原因不在别的地方

这里u趋向于0

指的是u不等于0而趋于0

而大家看到

这个表达式和刚刚的表达式不一样

刚刚在第一问中这个值恒等于0

现在在第二问中

这个x是不得0的

但是x分之1趋于无穷

sinx分之1就一会儿等于0

一会儿不等于0

一会儿等于0 一会儿不等于0

所以它经常会由等于0的情况

通过这两个例子

我们深刻的感受到

符合函数求极限时

x不得x0时

gx不得u0这个条件

十分的重要

好 这个例子我们就讲到这里

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

--Video

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--Video

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例3.2.2笔记与讨论

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