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反函数

下一节:例1.2.1

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反函数课程教案、知识点、字幕

要讨论反函数

首先我们应从映射

与逆映射的关系开始入手

好 我们首先给出一个映射

f是x到y为一映射

好 我们不妨举个具体例子

比方说这里X是123

再比方说这的y是abcd

然后呢 我们给出一个映射

比方说12都对应a 3对应b

这显然是一个映射

x中的每个元素

在y中有唯一元素与之对应

那么有了这个图

我们大家马上要看

箭头反过来之后

它是否还是一个映射

我们现在能够看出来

箭头反过来

目前显然不是一个映射

什么原因呢

这里主要有两个原因

第一个原因就是这里

也就是当箭头反过来时

a将对应两个元素

1和2

如果将箭头反过来

仍构成一个映射

就要避免这种情况发生

也就是说不能由两个自变量

对应同一个函数值

我们把这样的映射

首先称为单射

那么单射的概念我们这样给出

首先f从x到y的一个映射

那么什么叫单射呢

也就是说自不同的自变量

对应不同的函数值

任意的x1 x2属于x

x1不得x2

均有fx1不得fx2

若这件事成立

则称f为单射

好 要想把箭头反过来

仍为映射

那么必要条件是f为单射

我们把这个图改一改

比方说2对应c

我们看箭头反过来

现在是否还构成一个映射呢

目前还是不行的

那还有什么原因呢

我们看一看

这里主要的原因是d

d没有人对应它

所以反过来 d就没有对应的元素

为了使箭头反过来后

仍构成映射

我们也要避免这种情况的发生

所以这时

我们将满足这种条件的映射

就叫做满射

好 我们给出满射的定义

满射 首先f仍x到y的一个映射

我们要避免这种情况的发生

也就是说满射从概念上

大家就可以感觉到

就是y中的元素

都被映上

或者说都被映满了

那么我们用这样的语言写

任意的y属于b

都存在x属于a与之对应

那我们就写使得y等于fx

这样b中每个元素都有人对应它

好 那这件事成立

则称f为满射

满足了这两件事之后

我们将箭头反过来

就应该能够 也构成映射了

好 我们说既单又满的映射

称为一一映射

既单又满 这样的映射

我们称为一一映射

那么一一映射是存在逆映射的

对应到函数上

如果一个函数是一一对

那么这个函数

就有反函数

从关系上来看

我们把箭头反过来

就是将自变量与应变量兑换

那么如何就得反函数呢

下面我们来讨论一下

好 下面我们来看一下

求反函数的步骤

首先 我们要反解

好 有了y等于fx

这时我如果把x当应变量

y当自变量

我应该解出x

而用y来表示

那么在这里

我们这一步也叫做反解

比方说我们把x解出来

用y表示

我们用ψy

那么通常呢 用ψ来表示

不足以表示与原来函数的这个关系

所以呢 大部分的情形下

我们不用ψ

而用一个整体的符号

叫做f逆y

这里大家要注意

这个f逆是一个整体符号

而不是fy的倒数 是整体符号

这里请大家注意一下

我们求反函数 和中学略有不同

中学里边为了避免大家混乱

我们经常用x做自变量

y做应变量

所以一般来讲

求解反函数时

还有第二步骤

也就是说x与y要互换

这样我们就写出了y等于f逆x

最后当然要标明反函数的定义域

求得反函数的定义域

也就是fx的值域

这里请大家特别注意

这里中学我们经常要做xy互换这一步

那么在大学里

大家一定要接受这个观念

什么观念呢

中学里是不能接受y当自变量的

一定要用x当自变量

而我们微积分中

一定要用到这一点

也就是说在大部分的教材中

我们把x等于f逆y

就称为原来这个函数的反函数了

那么这时

它的意思是y是自变量

x是应变量

为什么这样呢

后面大家会了解到

反函数求导时

一定要用到这个关系

如果你首先将xy互换了

那将造成混乱

所以我们一定

一再的强调这一点

希望大家能够接受

反函数还有一个特征

也就是y等于fx与y等于f逆x

这两个函数的图像

关于直线y等于x对称

好 反函数有关的概念

我们就复习到这

下面我们来看几个具体的例子

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

反函数笔记与讨论

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