当前课程知识点：高等数学习题课 > 第一章 实数与函数 > 第2节 函数的性质 > 反函数
要讨论反函数
首先我们应从映射
与逆映射的关系开始入手
好 我们首先给出一个映射
f是x到y为一映射
好 我们不妨举个具体例子
比方说这里X是123
再比方说这的y是abcd
然后呢 我们给出一个映射
比方说12都对应a 3对应b
这显然是一个映射
x中的每个元素
在y中有唯一元素与之对应
那么有了这个图
我们大家马上要看
箭头反过来之后
它是否还是一个映射
我们现在能够看出来
箭头反过来
目前显然不是一个映射
什么原因呢
这里主要有两个原因
第一个原因就是这里
也就是当箭头反过来时
a将对应两个元素
1和2
如果将箭头反过来
仍构成一个映射
就要避免这种情况发生
也就是说不能由两个自变量
对应同一个函数值
我们把这样的映射
首先称为单射
那么单射的概念我们这样给出
首先f从x到y的一个映射
那么什么叫单射呢
也就是说自不同的自变量
对应不同的函数值
任意的x1 x2属于x
x1不得x2
均有fx1不得fx2
若这件事成立
则称f为单射
好 要想把箭头反过来
仍为映射
那么必要条件是f为单射
我们把这个图改一改
比方说2对应c
我们看箭头反过来
现在是否还构成一个映射呢
目前还是不行的
那还有什么原因呢
我们看一看
这里主要的原因是d
d没有人对应它
所以反过来 d就没有对应的元素
为了使箭头反过来后
仍构成映射
我们也要避免这种情况的发生
所以这时
我们将满足这种条件的映射
就叫做满射
好 我们给出满射的定义
满射 首先f仍x到y的一个映射
我们要避免这种情况的发生
也就是说满射从概念上
大家就可以感觉到
就是y中的元素
都被映上
或者说都被映满了
那么我们用这样的语言写
任意的y属于b
都存在x属于a与之对应
那我们就写使得y等于fx
这样b中每个元素都有人对应它
好 那这件事成立
则称f为满射
满足了这两件事之后
我们将箭头反过来
就应该能够 也构成映射了
好 我们说既单又满的映射
称为一一映射
既单又满 这样的映射
我们称为一一映射
那么一一映射是存在逆映射的
对应到函数上
如果一个函数是一一对
那么这个函数
就有反函数
从关系上来看
我们把箭头反过来
就是将自变量与应变量兑换
那么如何就得反函数呢
下面我们来讨论一下
好 下面我们来看一下
求反函数的步骤
首先 我们要反解
好 有了y等于fx
这时我如果把x当应变量
y当自变量
我应该解出x
而用y来表示
那么在这里
我们这一步也叫做反解
比方说我们把x解出来
用y表示
我们用ψy
那么通常呢 用ψ来表示
不足以表示与原来函数的这个关系
所以呢 大部分的情形下
我们不用ψ
而用一个整体的符号
叫做f逆y
这里大家要注意
这个f逆是一个整体符号
而不是fy的倒数 是整体符号
这里请大家注意一下
我们求反函数 和中学略有不同
中学里边为了避免大家混乱
我们经常用x做自变量
y做应变量
所以一般来讲
求解反函数时
还有第二步骤
也就是说x与y要互换
这样我们就写出了y等于f逆x
最后当然要标明反函数的定义域
求得反函数的定义域
也就是fx的值域
这里请大家特别注意
这里中学我们经常要做xy互换这一步
那么在大学里
大家一定要接受这个观念
什么观念呢
中学里是不能接受y当自变量的
一定要用x当自变量
而我们微积分中
一定要用到这一点
也就是说在大部分的教材中
我们把x等于f逆y
就称为原来这个函数的反函数了
那么这时
它的意思是y是自变量
x是应变量
为什么这样呢
后面大家会了解到
反函数求导时
一定要用到这个关系
如果你首先将xy互换了
那将造成混乱
所以我们一定
一再的强调这一点
希望大家能够接受
反函数还有一个特征
也就是y等于fx与y等于f逆x
这两个函数的图像
关于直线y等于x对称
好 反函数有关的概念
我们就复习到这
下面我们来看几个具体的例子
-课程序论
--课程序论
-第1节 集合的界与确界
--集合的界的概念
--例1.1.1
--确界的定义
--例1.1.2
--例1.1.3
--例1.1.4
--例1.1.5
--例1.1.6
--例1.1.7
-第1节 练习题--作业
-第2节 函数的性质
--映射与函数定义
--反函数
--例1.2.1
--例1.2.2
--例1.2.3
--例1.2.4
--例1.2.5
--例1.2.6
--例1.2.7
--函数的性质
--例1.2.8
--例1.2.9
--例1.2.10
--例1.2.11
--例1.2.12
--例1.2.13
--例1.2.14
-第2节 练习题--作业
-第3节 几个不等式
--不等式
--重要不等式
-第1节 数列极限的定义
--数列极限的定义
--例2.1.1
--例2.1.2
--例2.1.3
--例2.1.4
--例2.1.5
--例2.1.6
--例2.1.7
--子数列的极限
--例2.1.8
--例2.1.9
--数列极限的性质
--例2.1.10
--例2.1.11
-第2节 数列极限存在的充分条件
--四则运算法则
--例2.2.1
--例2.2.2
--例2.2.3
--夹挤准则
--单调有界定理
--重要极限
--例2.2.4
--例2.2.5
--例2.2.7
--例2.2.8
--例2.2.10
--例2.2.11
--例2.2.12
--无穷大量
--例2.2.13
-第2节 练习题--作业
-第3节 实数理论
--Video
--区间套定理
--定义总结
--例2.3.1
--例2.3.2
--例2.3.3
--例2.3.4
--例2.3.5
--例2.3.6
--例2.3.7
--例2.3.8
--例2.3.9
-第一次单元测试--作业
-第1节 函数极限的定义与性质
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--例3.1.7
--海涅定理1
--海涅定理2
--例3.1.8
--例3.1.9
--例3.1.10
-第1节 练习题--作业
-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量
--复合函数的极限
--例3.2.1
--例3.2.2
--例3.2.3
--例3.2.4
--例3.2.5
--例3.2.6
--Video
--无穷大量
--例3.2.8
--例3.2.9
--例3.2.10
-第2节 练习题--作业
-第二次单元测试--作业
-第1节 函数的连续性
--Video
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-第1节 练习题--作业
-第2节 闭区间连续函数的性质
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-第2节 练习题--作业
-第3节 函数的一致连续性
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--Video
--Video
--Video
--Video
-第3节 练习题--作业
-第三次单元测试--作业
-第1节 数项级数
--引言
--例1
--例2
--例3
--例4
--例5
--例6
--例7
--例8
--例9
--例10
--例11
--例12
--例13
--例14
-第1节 重积分（6月14日之前看完）
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--Video
-期末考试--结课考试
