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例2.2.13

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例2.2.13课程教案、知识点、字幕

好 下面呢

我们来解决几个无穷大量的题目

首先第一个例子

an的极限为正无穷

让我们证明它的算术平均值的极限

也为正无穷

好 我们来证明一下

这道题的证明过程

实际上得早有预谋一下

怎么早有预谋呢

我们大家看要证这个极限得正无穷

那我就应该任给一个G大于0

我们的目标就是找一项大N

小n大于大N后

n分之a1加到an也要大于G

那么这里我们最后的目标是取大N

取什么样的大N呢

当小n大于大N时

n分之a1加a2加an

它要大于G

好 我把我要证的这个表达式呢

写在最下边

中间怎么样证

我给它添加上

这个过程就是早有预谋的过程

好 注意到an的极限是无穷

由于an的极限是正无穷

那么存在一个N1

当小n大于大N1时

大家看那么an它就大于某一个正数G

但是这道题里边我们说了最后啊

我希望构造出来的是

N分之a1加到an大于G

那么如果你这里写成an大于G呢

最后呢我不好构造出来

最后这个形式是G

因为我要证极限是正无穷嘛

那么在这里啊

我们不妨对4G来讨论

也就是对4G大于0

存在N1

当小n大于大N1时

an大于4倍的G

那为什么采用4倍的呢

这里我们就是先写上4倍

看看行不行

这实际上就是预谋的过程

好 接下来 我们来继续整理

n分之a1加a2加到an

那么大家看呢

我可以把它写成n分之1

a1加到an可以写成a1加到a大N1

然后a大N1加1加到an

那你注意了

小n大于大N1时

an已经大于4倍的G了

前边这些项啊我们按兵不动

a1加到a大N1这按兵不动

后边这些人已经大于四倍的G了

加上n分之

这是多少项做和呢

这是小n减大N1这么多项做和

乘以一个4倍的G

好 下面我们再来看最右端的表达式

注意到n分之1乘以a1加到a大N1

a1加到a大N1

这是一个固定的数

N趋无穷

N分之1的极限是零

所以这一部分的极限是零

另一部分n趋无穷

n减去N1比上n

它的极限是1

好 我们利用一下保号性

那么就存在一个N2 小n大于大N2时

n分之a1加到aN1

注意了 你这一部分的极限是0

你的极限是0

你首先要大于一个负数

所以某一项之后

我让它大于负G

这是可以办到的

注意到这个极限是1

我有保号性

我们就得到n分之n减去N1

它的极限是1呢

某一项之后

它一定得大于2分之1才行

现在我们所有的铺垫工作

都已经结束了

取大N等于N1和N2的最大值

这样当小n大于大N时

这个表达式就大于

注意这一部分是大于负的G

这一部分是大于2分之1乘以4G

好 此时呢 我们就算出来了

这个值

它恰好就是G

从这个题的过程中

大家也可以看到

有时啊 我们想做好一道微积分的问题

完整的去解决它

有时要从书写上早有预谋

要早做规划

那么这也是让我们思维更严谨的

一种训练的方式

好 这个例子我们就讨论到这

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.13笔记与讨论

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