例3.2.6在线视频

我们对乘除运算时

等价无穷小替换

用的已经比较熟练了

那么现在所有的矛头

都指向加减运算与指对数运算

我们赶快来练习一下

好 我们来先求解一下第一个小例子

这个x趋0 此时分子的极限是0

分母的极限也是0

我们把这种极限都叫做0比0型的极限

我们现在接触这种极限已经有两个类型了

还有一个和1有关的

1的无穷性

那么这个问题怎么处理呢

大家一看到这正切

中学里我们经常有一个口诀

切割画弦

正切余切 正割余割 画正弦余弦

那这时啊我们这样

画一个正弦余弦

把它写成sin比cos

那这样的话sinx就提取出来了

后边呢是cos分之1减1

我呢通分一下

就是cosx分之1减cosx

好 再除以x立方

我们整体除x的立方

接下来咱们办呢

我们看一看

当x趋0时

这时sinx我除一个x

剩下的是1减cosx

我除以个cosx

还有一个x的平方

前者比值极限是1

后者比值极限是2分之1

所以最终答案还是2分之1

那么极限的值是2分之1

那么这道题

有的同学可能不是这样做的

我们来看看有些同学是如何做的

有的同学呢

我们看一看

是这样做的

是将x趋向于0不变

那么这里边tanx减sinx比x的立方

有同学是这样考虑的

tanx比x的立方

我们减掉sinx比x的立方

我们不是有等价无穷小吗

x趋0时

tanx等价于x

sinx也等价于x

我用一下等价无穷小替换 可不可以呢

所以有的同学就这样做

当x趋向于0时

tanx等价于x

比上x的立方

sinx等价于x 比上x的立方

好 这一做差啊

这个答案应该是0啊

当然我们看到了这两种情况

所给出的结论是不同的

显然我们更赞同第一种计算方法

那么第二种计算方法

错在哪呢

我们来看一看

第二种方法啊

这里这个答案首先我们说这是不对的

那这里错在哪呢

你注意 当然第一个等号这里没有问题

我只不过把它分开了

我们大家知道等价无穷小替换

用于乘除是没有问题的

你现在这个整体

是在做加减运算

那么加减运算的时候

我们要想利用等价无穷小替换

必须得把它分成两个极限

实际上呢

你如果是这样去写啊

这实际上我中间相当于做了一件事

把它先看成了两个极限

就是x趋0时

tanx比上x的立方

减去x趋0时

sinx比x的立方

我们前面讲到过

如果我们想做等价无穷小替换

现在只能是乘除

那么整体现在是加减

我们首先要把它看成两个极限

而我把它看成两个极限

实际上是有要求的

也就是说这两部分至少有一部分

极限得要存在

这样我可以把一部分的极限求出来

整体的极限依赖于另一部分

那么大家看

现在糟糕了

为什么呢

tanx比x立方

这实际上极限是无穷

这个时候tanx等价于x

相当于x方分之1的极限是无穷

当x趋于0时

后面这个道理是一样的，也就是说呢

首先你把这个整体拆成两部分

这个运算是不对的

因为这两部分的极限均不存在

所以这第一步就相当于是错误

不能这么做的

然后第二步你代换了

这就更没有什么道理了

这就错上加错

这告诉我们什么事啊

我们前面讲的例子经常是错误的过程

得到正确的结论

有的同学啊还经常抱有一定的侥幸心理

那我错误的过程结论对就可以吧

你看看这个题

这就是错误的过程得到了错误的结论

这是十分危险的

所以我们要搞清楚

在加减运算中

什么时候可以利用等价无穷小替换呢

道理很简单

在加减运算中

如果我们想利用等价无穷小替换

我们得把这两个极限 先分开

看成乘除运算

这时我们才能够利用等价无穷小替换

那么我们能把这两部分分开

有一个最基本的原则

就是这两部分中

至少有一个极限存在

由四则运算法则

我们就可以把它分成两个极限

好 下面呢我们运用这个想法

再解决后面几个小问题

我们来看第二个小例子

求这个极限

那么这个极限呢

整体是乘除

这里e的x减1

当x趋0时

是等价于x的

所以在这呢

我直接换成x就没有问题

好 接下来大家看

根号下1加tanx

减根号下1减去tanx

这个做法就比较灵活了

做到这这个方法就比较多样了

那么 首先大家看分子是根号减根号

我们有一个方法

就是有理化的方法

分子分母都乘以两个根号相加

那么分子就变成了平方差

那就变成了2倍的tanx比x

当x趋0时极限是1

那么除此之外

我们还有什么样的方法来解决呢

我们这里不难想到

这样一个等价无穷小

就是α大于0

当x趋0时我们讨论过1加x的α次方减1

等价于αx

那么大家看到这个根号了

我显然呢 怎么做呢

要把它分子我两部分都减掉一个1

x分之根号1加tanx

减个1 减去

那么后一部分呢

我也是如此

根号1减去tanx减1

我们现在想要利用等价无穷小替换

那么我们刚才说了

需要把它看成两个极限

那能不能呢

在加减运算中

至少有一个极限存在

我就可以把它分成两个极限

整体这个极限的存在性

依赖于另一部分

我们大家看这

就这一部分而言

实际上当x趋0时

根号下1加tanx减1

是等价于2分之1tanx的

所以呢 我们大家来看一看

实际上这就可以分成两个极限

那么分成两个极限

我这里就可以利用等价无穷小替换了

所以这里第一部分

是等价于2分之1tanx比x

那么减去第二部分

毫无疑问

负的2分之1tanx比x

这时呢两部分最后就是tanx比x

极限是1

当x趋于0时

那这时我们这个过程

就是正确的过程

当然结论也是正确的

那么这为什么就可以换了呢

因为这两部分的极限

本身都是存在的

我可以把它分成两部分

两部分各自替换

下面我们来接着考虑第三个问题

当x趋于0时

求这个商的极限

这里x趋于0时分子的极限是0

分母的极限也是0

也属于0比0型的极限

那么这时我们应该用

哪一个等价无穷小替换呢

这里显然要用到的是x趋向于0时

e的x次方减1等价于x

好 我们来看

可以在这 x趋于0时

我们把e的tanx提取出来

这里就是e的x减tanx次方减1

比上x减tanx

当x不等于0

而接近于0时

x减tanx是趋于0的

而且x减tanx是不等于0

而趋于0的

这样符合复合函数运算的规则

我们可以直接利用等价无穷小替换

从而呢我们看

当x趋向于0时

这个e的tanx

当x趋0时

e的tanx是趋1的

我们愿意把它求出来也行

先放在这

那么这时这个表达式

它用等价无穷小替换

就是x减tanx

比上x减tanx

最后当然极限是1

我们这个过程目前看

是没有任何问题的

那当然有同学又这样想了

我能不能分子两个作差的项

分别减1

再用等价无穷小替换呢

有的同学说我在这预谋一下

怎么预谋呢

当x趋0 这个分子呢

把它写成e的x次方减1

我再减去一个e的tanx次方减1

分母呢是x减tanx

好 那你这么做吧

有同学要用一个等价无穷小替换了

那这时啊 你看

有同学这么做的

e的x减1等价于x

e的tanx减1等价于tanx

好 那这时啊

我呢是x减tanx比x减tanx

好 这个最后得1

大家看第一个等号没有问题

我分子两项都减了个1

这还是和原来相等的

但是到第二项

我要做等价无穷小替换

我就要把它分成两个极限才能做

这里能不能分成两个极限呢

这里啊

我们说糟糕

这是不能分解成两个极限

所以这一块是错误的过程

得到了正确的结论

为啥不能分呢

我们看一看就知道了

因为我们来看这一部分的极限

比方说你这一部分的极限

当x趋向于0时

e的x减1

比上x减tanx

那么我上下除以x来算一下这个极限

比方说我分子e的x减1除以x

分母呢是1减去tanx比x

这里要糟糕了

怎么糟糕了呢

分子的极限是1

而分母的极限是0

这个极限的值是无穷

后一部分也类似的讨论

极限也是无穷

那么你分成两部分 两个都是无穷

就不能分开啊

那这说明啊

这里这个替换是错误的

错误的过程巧合 巧了得到了正确的结论

但仍是错误的

好 所以这个问题

我们不能这样做

那当然有的同学说

那我为什么不可以做啊

如果你这样做啊

我还可以这样做呢

你这个tanx

如果你说这样可以

那我再等价于一个x好了

那干脆这个极限又得0了

那这时这就是错误的过程

得到错误的结论了

可见啊大家在加减情况下

运用等价无穷小替换

是要格外小心的

当然 这一部分内容

也仅仅是在大家初学微积分时

才常常会用到

那么到后边

这些问题

我们都可以规避掉

当我们学了泰勒公式之后

这些都是泰勒公式

最特殊的情况

好 我们把最后一个题目

再来讲解一下

第四问 极限过程呢是x趋于正无穷

大家发现了

x趋于正无穷

这两者都是趋于正无穷的

但是可惜了

这里是做差

如果是正无穷加正无穷

我们后边马上会提到正无穷加正无穷

其实还是正无穷

那么或者你正无穷减负无穷也是正无穷

但是呢这种情况 这种情况

我们就把它叫做无穷减无穷型的极限

所以这里我们到此为止

讨论了三种了

一个是0比0的

1的无穷 无穷减无穷

那么看这个问题怎么处理呢

我们还是由多项式的想法

当x趋于正无穷时

这里主要说了算的项是x方

当x趋于正无穷时

这里主要的项是x立方

那么我们还是谁说了算呢

我就把它给提取出来

这里实际上啊

我提取一个x出来就可以了

那么把x提取出来了

里边是谁呢

就是注意 这块提取的时候

一定要小心了

这里x是趋向的是正无穷

所以呢你根号里面

x也是大于0的

这里是1加上2比x

减去根号下

三次根号下里边我们就除以x的立方

1减x分之1

好 我们大家看

当x趋于正无穷时

那这个怎么处理呢

这时我们又要用到

刚刚的这个等价无穷小替换了

就是α大于0

x趋于0时1加x的α次方

等价于αx

好 我们看这时

这个x呢我在分子上

根号下1加x分之2

我给它减个1

这是一部分

好 我们减去x

根号下1减x分之1

也减去1

好 做到这

你说能不能利用等价无穷小代换呢

我想你应该有了结果了

答案当然是能

当x趋向于正无穷时

好 我第一部分用等价无穷小替换

它是等价于二分之一

2比上x

这是存在的啊 这个极限

所以当然 我可以分成两个极限

这是等价于负的2x分之1

好 最终我们来看看这个极限得多少

前者极限是1

后者极限是2分之1

最终 答案应为2分之3

这样我们就解决了这个例子

在这道题中

我们希望大家体会的是

加减运算时

什么情况下可以使用等价无穷小替换

大家千万不要利用错误的过程

得到正确的结论