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例2.2.9（1）

下一节:例2.2.9（2）

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例2.2.9（1）课程教案、知识点、字幕

下面我们来考虑一个较综合的例子

这就是第九个例题

设un等于1加n分之1的n加1次方

让我们讨论un的单调性

并证明相应的不等式

第二部分是证明数列收敛

第三部分是求一个具体的极限

这三步啊应该是环环相扣

我们先来看一下第一步应如何讨论

细心的同学不难发现

这个un是1加n分之1的n加1次方

和我们刚才讨论的1加n分之1的n次方

只差了一个1加n分之1

那么大家还记得

1加n分之1的n次方

是单调递增有上界

它的极限我们定义为e

这里边大家千万不能想当然

这个数列有同学说

那你只在1加n分之1的n次方基础上

多乘了一个1加n分之1

应该影响不大

也是单调递增的吧

如果你有这种想法

那就很危险了

我们来看一看它的单调性如何

要讨论这个数列的单调性

我们无非是相减或者是相除

也就是un加1减un

或者un加1除以un

在这里我们由于都有指数次方

所以呢 我们相除来比较一下

好 我们来证明一下

首先un比上un加1

那这个整理一下

分子就是1加n分之1的n加1次方

分母就是1加n加1分之1的n加2次方

这个分母啊多出来一次方 是吧

我呢把它先写在这

比方说1加n分之1

它的倒数先留在这

下边我来整理一下其余的

其余的这个整理完呢

大家自己可以算一下

它实际上是n乘以n加2分之n加1的平方

再n加1次方

我们进一步整理

它等于 那么前边这个表达式

那么前面这个表达式我可以先整理一下

上下乘以n加1

这就是n加1比上n加2

后边这个表达式啊 巧了

这个分子和分母恰好差1啊

分子多了1

所以我把它写成1加上

n方加2n分之1的n加1次方

还记得我们在前边讲过伯努利不等式

伯努利不等式是怎么样叙述的呢

是这样说的

任意x大于等于负1

1加x的整数次方

也就是n次方

大于等于1加nx

这么一个不等式

所以我在这要用伯努利不等式

就可以进行化解

它大于等于n加1比上n加2

乘以1加上n加1乘以n方加2n分之1

好 我们继续来计算

这时这里有一个n加2

分子有一个n加1

那么分母后边一部分

是n方加2n

这里呢 分子就是n方加3n加1

我们把它展开分母是n立方

加4n方加4n

分子是n立方加4n方加4n

恰好啊 巧了 我们又多加了一个1

这样un比上un加1

等于这个表达式之后

它就是严格的大于1

也就是说数列un是单调递减

un是单调递减

并且un都是大于0的

也就是说un是有下界的

从而我们大家看出n趋无穷时

1加n分之1的n加1次方

这个极限也是存在的

这个极限是几呢

我们来计算一下

这个极限容易计算

你看我把它写成1加n分之1的n次方

我再来一个1加n分之1

好 前边由重要极限 这是e

后边由极限法则 这是1

最终啊 它等于e乘1 它还是e

un的单调性我们就研究完了

最后还让我们证明一个不等式

这应如何证明呢

我们看一看

大家知道1加n分之1的n次方

是单调递增区e

这个e应是1加n分之1的n次方的上确界

所以呢 上确界也是上界了

1加n分之1的n次方

我严格写 应该小于等于1

但是e是无理数

1加n分之1的n次方是有理数

这个等号我就不写了

同时 我们又关注到

1加n分之1的n加1次方啊

是单调递减趋于e

那这个e应该是它的下确界

这样我们就又得到一个不等式

也就是1加n分之1的n加1次方

是大于e的

好 下面我们两边取对数

以e为底的对数

也就得到了n倍的ln

1加n分之1小于1 小于n加1倍的

ln1加n分之1

这样我们看一看这个不等式

请大家看左端

这时就有ln1加n分之1

看左端啊

它就是小于n分之1

看右端 这时它就大于n加1分之1

这样我们就得到了这个不等式

这个不等式是我们微积分中常用的不等式之一

它后边我们会看到我们将有三四个地方

或者说三四种方法来证明这个不等式

今天我们用这个方法仅仅是其中之一

同时 这个不等式对我们的意义也很重大

它也是研究调和级数的一种方法

后边我们还会在更多的场合中遇到它

好 第一问我们就讨论完毕了

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.9（1）笔记与讨论

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