当前课程知识点：高等数学习题课 >  第二章 数列极限 >  第2节 数列极限存在的充分条件 >  例2.2.4

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例2.2.4

下一节:例2.2.5

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例2.2.4课程教案、知识点、字幕

下边我们来看几个例子

首先我们来求这样一个表达式的极限

那么看到这个表达式

大家看一看这个极限它是这样几项组成

首先是根号下n方加1分之1

其次 是根号下n方加2分之1

一直加下去加到根号下n方加n分之1

不难发现根号下n方加1分之1

当n趋无穷时

它的极限是0

根号下n方加2分之1

n趋无穷时

极限也是0

一直到最后根号下n方加n分之1

极限仍为0

所以有的同学可能会这样的去做

这个极限呢

它就等于第一项极限是0

第二项是极限是0

好 最后一项极限也是0

最后加起来极限还是0

如果你这样做啊

那这个题就是疯了

这个题就是做错了

为什么呢

这一步我们这里应该给它打两个大叉

为什么错了呢

大家来关注一下

注意到这里边求和是几项呢

这里边求和一共是n项

n现在是变化的

我们前面提到数列极限

利用四则运算法则时

是一定要有限项才可以运用

现在项数与n相关

如果这样去求解

就是错误的过程

那么怎么来求解呢

当我们遇到项数与n相关时

往往我们就要用到夹挤原理

好 下面我们来解一下这个问题

正确的过程应该是这样

根号下n方加1分之1

加根号下n方加2分之1

一直加到根号下n方加n分之1

好 我们用夹挤原理放缩

都放成最大的项

根号下n方加1分之1

那么这一边也就变成了

小于根号下n方加1分之n

大于这一边根号下n方加n分之n

都放成最小的

我们不难发现n趋于无穷时

n比上根号下n方加n

它的极限与n趋于无穷时

n比上根号下n方加1

它的极限呢都是1

从而我们由夹挤原理就得到了

这样一个表达式

根号下n方加1分之1

加根号下n方加2分之1

一直加到最后

根号下n方加n分之1

它的极限应为1

夹挤原理给了我们正确的结果

那么这个问题也告诉我们

虽然每一个极限都是0

但是这有无穷多个极限是0的量相加

那么无穷多个无穷小量的相加

并不一定是无穷小量

这是我们应从这道题中体会的

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.4笔记与讨论

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  12. 实用日语会话（Practical Japanese Conversation）(2021秋)

  13. 揭开潜意识心理的奥秘(2021秋)

  14. 现代管理学(2021秋)

  15. 线性代数(2)(2021秋)

  16. 计算几何(2021秋)

  17. 力学(2021秋)

  18. 系统工程(2021秋)

  19. 创客培养：趣味力学实验与制作(2021秋)

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