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例3.2.9在线视频

例3.2.9

下一节:例3.2.10

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例3.2.9课程教案、知识点、字幕

下面我们来看一下这个例子

这个例子仍和无穷大量有关

我们证明当x趋向于正无穷时

e的x比x

以及x比lnx

均是无穷大量

并在此基础上求这个函数的极限

那么首先我们来看一看

e的x比x是如何证明它是正无穷大量的

当然了在后面微分学应用时

我们可以用洛必达法则来求这个极限

那么现在

现阶段我们用函数极限的方法

如何求这个极限呢

恐怕我们只能用数列极限

来求这个函数极限了

我们来看一下具体的这个过程

我们要说明的是e的x比x是一个无穷大量

好 那么这里我任意的一个x

它是正数

那么我们都存在一个n

这个x是大于等于n小于n加1的

每给一个x

我都可以找到相邻的两个正整数

使得x夹在这两个正整数之间

好 我们来看一看

这时有一个重要的信息

当x趋向于正无穷时

我们看到了由不等式的右端

我们能推出n趋向于无穷

数列中n趋无穷指的就是n趋正无穷

反过来呢

当n趋正无穷时

我们用左端的不等式

也能看出来x是趋于正无穷的

这两件事是等价的

好 我们来做一个比值

e的x比x 刚刚说了我们目前

只能用数列极限来解决函数极限的问题

这里e的x肯定是大于2的x的

那么2的x呢

是要大于等于2的n次方的

这里我免不了要用二项式定理了

这个分子它实际上是cn0加cn1

加cn2 一直加到cnn比上x

我干脆只要其中的一项cn2好了

cn2是谁呢

是2分之n乘n减1

再乘一个x分之1

注意了 由这个不等式

我们看到了n是大于x减1的

所以它就大于2x分之x减1乘以x减2

注意到x趋于正无穷时

x减1乘x减2比2x

它的极限应该是正无穷

那么比它大的量呢

那当然更是正无穷了

也就是当x趋于正无穷时

e的x比x也是正无穷

好 到此为止

这个极限我们就求解好了

也就说明了

当x趋于正无穷时

e的x比x是一个正无穷大量

这也告诉我们

当x趋于正无穷时

底大于1的指数函数

要比幂函数增长得要快

我们继续来考虑接下来的这个问题

x趋于正无穷时

x比lnx的极限

这里我们又要用一个变量替换了

设lnx得t 也就是x等于e的t次方

这里我们实际上要说明的是

x趋正无穷时

t趋于正无穷

反过来也要说明t趋于正无穷时

x趋于正无穷

当然这个t不是别人

就是lnx

那么这个呢 我想是不太难说的

大家可以自己下去练习

我们真正运算时呢

当然就认为这件事已经说好了

现在 我就写成t趋正无穷

那么这里分子的x是谁呢

不是别人 是e的t

分母的lnx

也不是别人 就是t

我们用刚刚计算过的结果

这样就证明了这也是一个无穷大量

这说明什么事呢这告诉我们

当x趋向于正无穷时指数大于0的幂函数

比底数大于1的对数函数

增长的速度要快

这也就讨论好了

底大于1时的指数函数

指数大于0时的幂函数

以及底大于1时的对数函数

它们增长速率的关系

也就是x趋于正无穷时

月底数大于1的指数函数增长的是最快的

那么指数大于0的幂函数

增长的是中间快的

那么增长的最慢的呢

是底数大于1的对数函数

最后我们来求解题目中的极限

x趋于正无穷时

x的x分之1次方它的极限

我们这样对于底数指数都有变量的情况

我就先取个对数再取个指数

这样指数x分之1拿下来

不难写成这个形式

好了 这是lnx比x

当x趋于正无穷时

极限是0啊

所以最终的答案呢

应该是e的0次方等于1

到此为止

我们就讨论好这个题目了

你听懂了吗

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

--Video

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--Video

--Video

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--Video

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--Video

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--Video

-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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--Video

-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

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--Video

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--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例3.2.9笔记与讨论

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  15. 线性代数(2)(2021秋)

  16. 计算几何(2021秋)

  17. 力学(2021秋)

  18. 系统工程(2021秋)

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