当前课程知识点：高等数学习题课 > 第二章 数列极限 > 第2节 数列极限存在的充分条件 > 例2.2.10
下面我们再来看这样一个问题
数列an满足a大于0
然后呢给的是一个递推关系
其中a为一个常数
让我们证明数列的极限是存在的
并求极限的值
我们目前只能用单调有界定理
来讨论问题
下面呢 我们来看一看这个数列
是否是单调 并且有界的
好 大家一看到这呢
就情不自禁的想到了
中学的不等式 是吧
这里我们看an加1是大于等于
2分之1不动吧
后边这两个和是大于等于2倍
根号下它们俩乘积的
也就是大于等于根号a的
我虽然不知道a1是多少
但是我们能够肯定的是
从第二项开始an都是大于等于根号a
是有下界的
那是否是单调的呢
我们再看一下an加1比上一个an
我们试一试
那你除呗
2分之1 这就是1加上a比上an的平方
巧了 这里从第二项开始
an是大于等于根号a的
那它平方自然就大于等于a
a比上它就小于等于1
从而这个表达式
就是小于等于1的
所以这个数列我刨去第一项
从第二项开始
它就是单调递减有下界的
从而我们在这说得明确一点
an当n大于等于2时
它是单调递减有下界
这样我们由单调有界定理
就得到了n趋无穷
这个an的极限一定是存在的
下边我们来求极限值
这个极限值咋求啊
我们这样 既然极限值是存在的
我们就令n趋无穷
an的极限得大A
好 在这个表达式
an加1等于2分之1an
加上a比上an
在这个表达式的两端
注意 大家要学习我这个语言
令n趋于无穷
这个话这样说呢
相对来讲比较明确
好 an的极限是a
an加1的极限自然也是a
所以我两边取极限
这是a 这是2分之1倍的大A加上
写到这啊 有同学不敢写了
你注意 有人要问一问了
这个大A是否是正数
或者说大A是否是不得0的呢
我们大家注意到这啊
这已经给了我们答案了
这里an加1它是大于等于根号a的
所以有保号性
它的极限一定是大于等于根号A的
所以这里蕴含着极限值
是不可能得0的
其实呢是大于等于根号a的
这样我们就得到了一个关于a的方程
我们又注意到这个方程实际上
就是A方等于小a
那么这时刚才我们讨论了有保号性
这里极限值大A
应该也大于等于根号A
所以我们就要把负值舍掉
所以我们A等于根号a
在这我加一句吧
负根号a由保号性舍掉
好 这道题的证明和求值
我们就讲完了
那么这道题实际上
是具有十分强的背景
那么我们来看看
这个极限值的根号a
有什么背景呢
我们看一看
我们中学阶段啊
现在基本上大家都学过一点导数的知识
所以我在这里呢
先提前用点导数的知识也关系不大
我们在这画一个抛物线
这是y等于x方减a a是正的常数
好 这里呢我来取一个点
这叫xn
好 xn这点的纵坐标
这点的纵坐标当然是xn的平方减a
好 我过这点呢
做抛物线的一个切线
那么这个切线和x轴焦点的坐标
应该是谁呢
大家知道y等于x方减a
它的导数啊
中学阶段大家就学过
是2x
我们点斜式写一个方程
点斜式写方程就是y减去y0是谁呢
就是xn的平方减a
这是y减y0
等于k倍的
k是斜率啊 2xn这一点处的斜率
乘x减xn
好 我们令y得0
也就要得这个焦点的横坐标呢
y得0
我们看实际上这个x它是谁呢
它啊就是2分之1xn加上a比xn
当我求解出这个表达式的时候
你是否感到有点惊喜
这个表达式啊
恰好就是我们这道题的递推数列
换句话说
在我们这道题里
这一点的横坐标
它就是xn加1
那么我们能够直观的来观察一下
比方说这是x1
过x1 fx1这一点我做了切线
这个焦点是x2
下边我们再来做一下
过这个点呢我再做一个切线
这个焦点是x3
那么这里大家明显的看出
我们画几次呢
这个焦点和我抛物线与x轴的焦点
就离得十分的近了
而这个抛物线和x轴的焦点
其实恰好就是根号a
这种实际上是非线性方程求根的一种方法
在计算数学中
我们把这种方法也叫做牛顿法求根
牛顿法求根是非线性方程求根的
一种重要的方式
那么在数列极限中
我们就以这个例子呈现出来
大家呢有机会的话
可以自己查阅一定的资料
好 这个问题讲完之后
我们紧接着来看一个思考题
思考题数列an满足A1
在0到2分之π之间
an加1等于sinan
那么这里呢
让我们猜一猜an的极限为多少
事实上你很容易
能够想到一个具体的例子
大家都用过计算器
在计算器中啊你随便按一个数
按完这个数之后呢
计算器上有sin这个按钮
你不断的按sin这个按钮
事实上就构造出了这样一个数列
那么我想大家都有过这样的经验
你不断的按sin
在按了几次之后
屏幕上就只出现了数字零
当然你再按下去
sin0还得0
所以这个极限
其实就是0
这个数列它是否是单调有界的呢
我们希望大家自己来证明一下
那么最后你也可以求一求极限的值
是否是0
好 这个问题我们就讲到这里
-课程序论
--课程序论
-第1节 集合的界与确界
--集合的界的概念
--例1.1.1
--确界的定义
--例1.1.2
--例1.1.3
--例1.1.4
--例1.1.5
--例1.1.6
--例1.1.7
-第1节 练习题--作业
-第2节 函数的性质
--映射与函数定义
--反函数
--例1.2.1
--例1.2.2
--例1.2.3
--例1.2.4
--例1.2.5
--例1.2.6
--例1.2.7
--函数的性质
--例1.2.8
--例1.2.9
--例1.2.10
--例1.2.11
--例1.2.12
--例1.2.13
--例1.2.14
-第2节 练习题--作业
-第3节 几个不等式
--不等式
--重要不等式
-第1节 数列极限的定义
--数列极限的定义
--例2.1.1
--例2.1.2
--例2.1.3
--例2.1.4
--例2.1.5
--例2.1.6
--例2.1.7
--子数列的极限
--例2.1.8
--例2.1.9
--数列极限的性质
--例2.1.10
--例2.1.11
-第2节 数列极限存在的充分条件
--四则运算法则
--例2.2.1
--例2.2.2
--例2.2.3
--夹挤准则
--单调有界定理
--重要极限
--例2.2.4
--例2.2.5
--例2.2.7
--例2.2.8
--例2.2.10
--例2.2.11
--例2.2.12
--无穷大量
--例2.2.13
-第2节 练习题--作业
-第3节 实数理论
--Video
--区间套定理
--定义总结
--例2.3.1
--例2.3.2
--例2.3.3
--例2.3.4
--例2.3.5
--例2.3.6
--例2.3.7
--例2.3.8
--例2.3.9
-第一次单元测试--作业
-第1节 函数极限的定义与性质
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--例3.1.7
--海涅定理1
--海涅定理2
--例3.1.8
--例3.1.9
--例3.1.10
-第1节 练习题--作业
-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量
--复合函数的极限
--例3.2.1
--例3.2.2
--例3.2.3
--例3.2.4
--例3.2.5
--例3.2.6
--Video
--无穷大量
--例3.2.8
--例3.2.9
--例3.2.10
-第2节 练习题--作业
-第二次单元测试--作业
-第1节 函数的连续性
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-第1节 练习题--作业
-第2节 闭区间连续函数的性质
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-第2节 练习题--作业
-第3节 函数的一致连续性
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-第3节 练习题--作业
-第三次单元测试--作业
-第1节 数项级数
--引言
--例1
--例2
--例3
--例4
--例5
--例6
--例7
--例8
--例9
--例10
--例11
--例12
--例13
--例14
-第1节 重积分（6月14日之前看完）
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--Video
-期末考试--结课考试
