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下一节:无穷大量

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Video课程教案、知识点、字幕

那么讨论完了加减乘除

我们再看一看指对数的运算

这时我们能用等价无穷小替换吗

这个例子啊

我们在前面已经讨论过了

这里我们看一看如下的做法对不对

那么有的同学啊

是这样写的

这个极限值它就把它写成x趋向于0

怎么做呢

它这么做的

你看x趋向于0啊

这个sinx是等价于x

这个x趋向于0

cosx基本就跟1差不多啊

我就把它写成1加x的x分之1次方吧

这个cosx我就给它换成1

这个sinx我就等价乘x

那么这时这个极限就求出来了 是e

那么这里我显然要打一个问号

大家思考一下

你觉得这么做合适吗

实际上你要想画这个等号

其实你需要说明的是什么

实际上呢

我们回顾我们做等价无穷小替换的时候

fx除以gx

实际上是fx除以一个f1我简写

乘个f1 除个g1 乘个g1 除个g

这一部分等价无穷小极限是1

这一部分等价无穷小极限也是1

所以它好像是把f换成f1

g换成g1

但是你这么直接换呢

是没有这个四则运算的这种过程的

没有做除法 做乘法这种过程的

所以呢 我们说这个过程是错误的

恰好这个错误的过程得到的呢

就是正确的结论

所以我们告戒大家指对数是不能这么做的

好 下面呢

我们就具体需要来总结一下

等价无穷小替换

什么时候可以替换

什么时候不能替换

这里我们有三点需要说明的

第一点就是在乘除运算时

也就是整体是乘除

那么这时

我可以将分子或分母或乘法时的因式

利用等价无穷小替换

这是可以直接替换的

第二方面

就是在做加减运算时

如果在做加减运算时

我们想将它利用等价无穷小替换

那么这时首先应该把它分成两部分极限

那么分成两部分极限呢

四则运算告诉我们了

这两部分的极限

至少有一个存在

就可以求出来

从而整体的存在性

依赖于另一部分

这样就可以分成两个极限了

特别要注意的是

如果说这两部分的极限

均不存在

那么有的时候我们现阶段

请大家做的习题

都是可以进行一些变形

使得有一部分是可以先求出来

这样再利用等价无穷小替换

那么后边呢

等我们学了微分学的应用时

我们就会看到

那么如果两部分极限不存在

我可以使用后边要讲的

泰勒公式来处理这样的问题

那么在等价无穷小替换这

我们经常呢

在这一个阶段

还是用这个等价无穷小替换

等到大家学了泰勒公式之后

这都是泰勒公式的特例

第三 我们要强调的是指对数的情形

那么底数和指数的极限

如果均存在

那这样我们就可以直接用

复合函数的求极限的法则求出极限

那么其他的情形下

我们不能将底数或者是指数

随意的进行等价无穷小替换

这是特别要强调的

好 同学们 等价无穷小替换这一部分

我们就讲到这里了

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

Video笔记与讨论

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