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例2.2.9（2）

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例2.2.9（2）课程教案、知识点、字幕

第二问证明数列an等于1加2分之1加n分之1减lnn

这个数列收敛

目前呢我们求极限

有四则运算法则

有夹挤原理

我们证明极限存在

那么过去我们是用极限的定义来证明

极限的定义要证明

首先得知道极限值是多少

这里仅仅让我们证明数列收敛

那么我们现有的工具

只有单调有界定理

还可以应用

刚刚证明了这样一个不等式

ln1加n分之1

小于n分之1 大于n加1分之1

我们看看能不能应用到这个数列上呢

证明 好 我们看看这个数列

是否是单调有界的

首先观察一下单调性

比方说计算一下an加1减an

这里我们大家能够计算出来

an加1减an

实际上就是n加1分之1

减去lnn加1

加上lnn

也就是说明

这是n加1分之1

减去ln1加n分之1

巧了 我们恰好能够用上这个不等式

ln1加n分之1

是大于n加1分之1的

所以这个差是小于0的

也就是说现在这个数列

an是单调递减的

我们只要再证明an有下界就可以了

an 我要想证它有下界

当然要往小了放缩

an小大于谁

此时啊 你用眼睛一观察

这个不等式还在等着你呢

这时an大于谁呢

1大于谁啊 1大于ln1加1分之1

2分之1大于谁呢

ln1加2分之1 是吧

一直到n分之1

它大于ln1加n分之1

再减去一个lnn

好 我们一看这是ln2

这是ln2分之1 3分之4

n分之n加1

太巧了 是吧

对数做和 等于真数相乘

前边这一大堆ln的和

就是lnn加1

减去lnn

它显然是大于0的

这样我们就得到了这个an是有下界

它单调有界

自然我们就应用单调有界定理

得到了n趋于无穷

an的极限是存在的

那么这里就讨论完了这个题

这个题目啊我们把它最终的结果再写出来

是它减去lnn

这个极限存在

前面我们提到了为了纪念数学家欧拉

我们把1加n分之1的极限写成e

因为欧拉 他的英文名字是欧艾勒

首字母就是e

那么这个极限也和欧拉有关

我们不能再用e来表示呢

通常我们用数字γ来表示这个极限

这个γ也叫做欧拉常数

它是界于0.5与0.6之间的

一个无理数

好 这就是第二问我们讨论的内容

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.9（2）笔记与讨论

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