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复合函数的极限在线视频

复合函数的极限

下一节:例3.2.1

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复合函数的极限课程教案、知识点、字幕

接下来我们讨论第三章的第二节

这一部分我们有三个内容

首先是复合函数的极限

其次是柯西收敛准则

最后我们再讨论一下无穷小量

与无穷大量

首先让我们来看一看复合函数

是如何求极限的

复合函数求极限有这样一个定理

设x趋向于x0时

gx的极限是u0

也就是当x往x0跑的时候

gx是往u0跑的

那么当u往u0跑的时候

fu是无限趋近于A的

也就是fu往A跑

那么大家看

当x往x0跑的时候

gx是往u0跑的

而当u往u0跑的时候

fu就往A跑

那这时我们很自然的

想把它们两个函数复合起来

这时大家注意

有一个细节

这要是直接复合呢

是很危险的

危险在哪呢

你注意到这

这个u趋向于u0

是u不等于u0

而趋向于u0

那么前面这个极限

gx的极限是u0

这可没说gx是不等于u0的

那么大家知道常值函数的极限

还是这个常值

所以如果gx恒为u0

它也是满足前面这个条件的

但 它就无法套在后面这个条件里了

这里因为是u不得u0而趋向于u0

所以我想用上这两个条件

一定要满足这个u不得u0而趋于u0

所以我们加上一个条件

就是说当x接近x0

但是不得x0的时候

这是x趋于x0的意思了

也就是说呢

在x0附近

当x不得x0时

我们加上一个条件

gx不等于u0

这样就构成了u不得u0而趋向于u0

那么此时

x往x0跑

gx就不得u0而趋向于u0

gx不得u0而趋于u0

那么fgx就往A跑

这就是复合函数的求极限的定理

我们来看看这个定理

是如何证明的

这个证明呢

也很容易

我们注意最终是要证这个结论了

那我们自然要任给一个ε大于0

我们的目标是干什么啊

是找一个δ

什么样的δ呢

当x和x0接近一定程度的时候

fgx和A它的绝对值是小于ε

好 我们看一看

在这这样说

由于当u趋向于u0的时候

fu它的极限是得A的

所以我们看就存在一个我们干脆叫δ1好了

存在一个δ1大于0

当u减u0的绝对值大于0小于δ1时

我们就有fu减A的绝对值小于ε

我们要干什么事啊

我们的目标是做这个事

在这我们得预谋一下了

我们的目标

是f括号gx减A的绝对值

是小于ε的

那如果你要是想有这个目标的话

那什么时候才会有这个目标呢

大家看只要u满足这个条件

fu就满足这个条件

那么我们现在只需说明gx如果也满足这个条件就可以了

那么大家看 gx能不能满足这个条件呢

又由于当x趋向于x0时

gx的极限是u0

似乎是可以满足的

我们这样说

对上述的δ1大于0

好 存在一个δ大于0

当x减x0的绝对值大于0小于δ时

我们有gx减去u0的绝对值

就小于x

大家注意了

这时我们加的这个条件

就要在这起重要作用了

这时由于我这个条件

在x不等于x0的时候

gx是不得u0的

所以这gx减u0的绝对值大于0

那么现在这个gx它就满足了我上边所说的u的条件

那么它也自然就应该满足这个结论

这样我们就完成了这个定理的证明

从证明的过程中

大家看到我们加的这个条件

x不得x0

gx不得uo这个条件

是十分重要的

好 下面我们来看一下复合函数极限

需要注意哪些问题

有的同学可能会问

我们加的这个条件

x不得x0时

gx不得u0

那么这个条件

能不能去掉呢

我们大家看这个证明的过程

在函数极限fu的极限得A这个里边

我们的要求是u不得u0

那么我什么时候可以把这个条件

x不得x0而gx不得u0这个条件去掉呢

如果说我们这个u等于u0的时候

fu0恰好也是A

那么这个时候

这个绝对值大于0

我们就没有意义了

这时我们这个大于0

就可以把它宽松的去掉

这也就是说fu0得A时

这个条件是可以去掉的

这是从证明的过程中直接可以看出来

到了下一章

我们就可以这样说了

如果fu0得A

实际上用下一章的知识

就是f这个函数在u0处是连续的

如果f在u0处连续

那么我们刚刚所加的条件

x不得x0时

gx不得u0就可以去掉了

好 这是第一条

我们要注意的

那么在复合函数极限中

我们经常研究只对数形式的极限问题

这里我们来看第二条和第三条

第二条中

我们先谈一个预备知识

那么后边这个预备知识

实际上当然我们要加一个条件

就是这里的这个x0是大于0的

好 这个呢我们在上一节是证明过的

前面这个结论我们没有证

大家可以自己去试一试

这个呢 不太难 比较容易

如果有了第二条这个预备知识

我们来看第三条

当x趋向于x0时

ux的极限是a大于0

当x趋向于x0时

vx的极限是b

那么这时ux的vx次方

当x趋于x0时

极限就是a乘以b

这是什么原因呢

我们来解释一下

我们大家看ux它的vx次方

我们把它写成指对数的形式

就是先对它取个ln

再对它取个e

实际上它就是e的vx乘以lnux

好 那么这个e啊大家看

这实际上由于u趋u0

e的u

它的极限是e的u0

由于x趋于x0

lnx的极限是lnx0

这是符合上边所说的复合函数的极限的条件的

并且它们还满足第一个条件的

所以这里我们看

两端令x趋向于x0

那么左边这个极限就是我们要求的

x趋于x0

ux它的vx次方

注意了 vx的极限是b

ux的极限是a lnux的极限就是lna

所以这个指数的极限是b倍的lna

那么外层的这个函数e

它有上边这个条件

所以我们可以把极限求出来

就是e的b乘lna

这实际上就是我们所说的a的b次方

这样我们就讨论了指对数形式的复合函数的极限

那么到此为止

我们就讨论清楚了几种类型的

一种是两个函数相加减

另一种是两个函数相乘除

再有一种就是指对数的形式

我们再后面将对他们进行大量的总结与练习

这样我们就讨论了只对数形式的

复合函数求极限的方法

好 下面我们来具体看几个例子

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

复合函数的极限笔记与讨论

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