当前课程知识点：高等数学习题课 >  第一章 实数与函数 >  第1节 集合的界与确界 >  例1.1.2

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例1.1.2

下一节:例1.1.3

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例1.1.2课程教案、知识点、字幕

这个例题是这样的

集合A等于这样一个集合

那么它是由实数构成的

其中X的平方是小于2的

证明集合A的上确界为根号2

首先我们来对这个集合

进行一个化简

X是实数 X的平方小于2

事实上这个集合A

我们来看一看

这个集合A就是负根号2到正根号2

开区间

那么要证明A这个集合的上确界

是根号2

我们还是分两步

第一步 任意的X属于A

那么我们来看

X的确都是小于根号2的

这样也就说明

根号2是一个上界

第二步我们要证明

根号2是上界中最小的

也就是任给一个ε大于0

我们将根号2减掉ε之后

它就不再是上界

那我们看

这里需要一个简单的讨论

比方说如果ε属于0到2倍根号2

这个区间的话

那么这个2倍根号2是怎么来的呢

它实际上是

A集合的这个区间的长度

如果ε是这样的话

那么我们这样取

找到一个X

比方说取X等于根号2减掉2分之ε

那么大家看ε是属于这个区间

2分之ε就属于0到根号2

那么根号2减去它

就仍然还在集合A中

那么此时这个X

它是大于根号2减ε的

这是显然的

因为我减一半的ε

比减ε要大

好 这是这一部分

下面如果说ε是属于2倍根号2

到正无穷的

也就是ε比较大的时候

那么此时根号2减ε

此时这个数字呢

比负根号2还要小

比负根号2还要小

那这样我任意的X

比方说我们取X等于0

它当然也是属于A的

那么这个时候

这个0它就是大于根号2减ε的

那事实上呢

你此时A中的每一个元素

都要比它大

总之任意的一个ε大于0

我总能够找到一个A中的元素

使得X比根号2减ε要大

这样也就说明了

根号2是上界中的最小者

由我们前面的讨论

最后就有A集合的上确界

等于根号2

这样我们就完成了

这个问题的证明

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例1.1.2笔记与讨论

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