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例2.2.7

下一节:例2.2.8

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例2.2.7课程教案、知识点、字幕

下面我们来看另一个问题

a1 a2 am是m个正数

那么求这个极限

它们n次方之后求和

再开n分之1次方的极限

从这个表达式

我们看这m正数似乎比较不好分析

我们给大家具体一点

比方说我们先讨论两个数的

来看看是否能分析出什么

比方这我写一个2的n次方

加3的n次方

我再开一个n分之1次方

两项的时候

大家来猜一猜极限是多少

前面呢

大家已经有一定的经验

求极限时

比方说我们遇到

多项式和多项式相除时

我们总把最高次方除下去

造成和n分之1极限得0相关的表达式

那么也就是说哪一个量起主导作用

我就要把它发现

那么这里边大家看

2的n次方和3的n次方

随着n的增大

谁将会起主导作用呢

显然是3的n次方

将会起主导作用

好 我们可以这样来考虑

把3的n次方提取出来

那么3的n次方提取出来

再开n分之1次方

那就是3

这里就乘以3分之2的n次方加1

再来一个n分之1次方

当n越来越大时

底数的极限是1

指数的极限是0

大家可以想象出

这个极限应该和3有关

那么这里用到的是指对数的形式

事实上呢

大家再看习题课的时候

应该是已经学过了

我们把这一部分

指对数的内容

放在函数极限来讨论

那现在我们用夹挤原理

是否能做另一种解释呢

也是可以的

比方说2的n次方

加3的n次方

我再开一个n分之1次方

大家看它显然是大于等于3的

因为我把这个2的n次方不要了

那这就剩3的n次方

再开n分之1次方 就是3

小于等于

小于等于我都给它放缩成最大的

那这就是n次根号下2

再乘以3

当n趋向于无穷时

2的n分之1次分极限是1

这样左右两边

极限均为3

所以这个表达式

当n趋无穷时

极限就是3

回过头来

如果是m个数

你能猜出极限是几吗

显然极限不是别人

应该能猜出就是a1 a2 am的最大值

好 我们具体来写一写

解 这里我们不妨设最大值为A

好 它是ai i从1到m的最大值

这里我们用夹挤原理

a1的n次方 a2的n次方

am的n次方

和再开n分之1次方 小于等于

都放缩成最大的部分

那就是m的n分之1次方再乘以a

大于等于谁呢

我这里边最大值也来自于a1 a2 am

我只保留一个 只保留最大的那个

其他的我都不要了

那这时候放缩的时候

它就等于大于a的n次方

再开n分之1次方

也就大于等于a

这样n趋无穷时

左边极限是a 右边极限也是a

从而这个极限就等于a

也就是a1 a2 am的最大值

这里我们用了一个结论

请大家来自己练习

也就是这样一个结论

a大于0 a不等于1

那么我们能够得到的这个结论

n趋于无穷时

a的n分之1次方极限得1

这个结论很容易

请大家利用我们前面所学过的知识

自己证明一下

好 这道题我们就讨论到这

后边我们在函数极限时

会遇到与这个问题类型相似的问题

那么这里请大家记住这个问题的结论

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

--Video

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--Video

--Video

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--Video

-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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--Video

-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.7笔记与讨论

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