当前课程知识点：高等数学习题课 >  第二章 数列极限 >  第2节 数列极限存在的充分条件 >  例2.2.3

返回《高等数学习题课》慕课在线视频课程列表

例2.2.3在线视频

例2.2.3

下一节:夹挤准则

返回《高等数学习题课》慕课在线视频列表

例2.2.3课程教案、知识点、字幕

下面我们来看这样一个例子

若a1 加a2 加am得0

让我们求这个极限

从题目中我们看到这个极限是m项相加

m是固定的一个正整数

而极限过程是n趋于无穷

所以这里应该是可以运用

四则运算法则的

好 我们来看一下具体过程

这里a1倍的根号n加1加a2倍的根号a加2

一直加到am倍的根号n加m

好 那这里边我们怎么样

利用上a1加a2加am得0呢

大家还记得刚刚我们讲过的例题

遇到两个根号相减

我们要用分子有利化

这里遇到的全是根号相加

那怎么办呢

我们干脆减掉一个a1加a2

加am倍的根号n就可以了

因为a1加a2加am得0

所以这里我们整理一下

带有a1的提取出来

根号n加1减根号n

我们用一下有理化

根号n加1加根号n分之1

a2乘以根号n加2加根号n分之2

最后一直加到am倍的根号n加m加根号n分之m

由于是有限项

注意到n趋无穷时

每一项的极限是0

最终我们就求得了

这个数列极限的值仍为0

最后我们对数列极限的四则运算

有一个小的说明

在实际的问题中呢

我们经常遇到这样的情况

比方说让你求an加bn的极限

那么数列极限的四则运算法则告诉你了

如果an存在极限a

bn存在极限B

那么an加bn存在极限a加b

这毫无疑问

但具体的问题中

我们不知道他们俩是否都存在极限

我们如果看出来an是存在极限的

那这里边我们可以把它的极限就先求出来

这个里边整体的这个极限是否存在

就依赖于bn

那么这个等号的划出

实际上是有一定的逻辑关系的

我们来看一看为什么是这样

也就是为什么有一部分极限存在

我可以先求出来

我们不妨设cn等于an加bn

那么实际上也就是要求cn的极限

如果说an的极限存在

那么整体的极限是否存在

就依赖于bn是否存在

好 这个叙述我们来看一看

如果bn的极限存在

由于an的极限也存在了

这样cn的极限也存在

反之 若bn的极限不存在

若bn的极限不存在

那么我们将说明cn的极限

也不存在

为什么呢

我们反证 如果说当n趋于无穷时

cn的极限是存在的

我们不妨设成C

那么此时我们就可以写成bn等于cn减an

cn的极限是C an的极限是A

这样我们就推出来bn的极限是C减A

这与bn的极限不存在就构成一个矛盾

虽然这个逻辑关系很简单

但是呢 作为初学者

我们还是希望大家要明确

同样的 作为乘除运算中

我们也会遇到这种情况

如果说我们要求乘法的运算

比方说an这个数列

和bn这个数列要相乘

去取一个极限

大家要注意这件事

如果我们知道某一部分的极限存在

比方说an的极限存在得A

那这个时候我是否可以先把an的极限

求出来呢

大家要注意如果这里A是不得0的

如果有这个条件了

也就是an的极限不得0

那此时我们就可以写成an乘以bn的极限

就等于A乘以bn的极限

也就是最终这个整体是否存在极限

就依赖于bn了

那这是为什么呢

道理还是一样的

我们假设cn等于an乘以bn

如果bn的极限存在

an的极限也存在

由四则运算法则告诉你

cn的极限也存在

那么反过来

如果说bn的极限不存在呢

我们看一看

当n趋于无穷时

如果bn的极限不存在

那么我们来看cn的极限应该也不存在

为什么呢

我们反证

假设cn的极限存在

它的值还为C

那么这里我们就可以表示出bn

bn就等于cn除以an

那么大家看 cn的极限是C

an的极限是A

而且不等于0

那么我们由四则运算法则

bn的极限就应该等于C除以a

这就又构造了矛盾

这告诉我们什么呢

在乘除运算中

如果某一部分的极限存在

且不等于0

我们可以先把它求出来

如果某一部分的极限得0

我们是不能贸然行动的

好 极限的四则运算我们就讨论到这

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例2.2.3笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:


  1. 信息论(2021秋)

  2. 智能控制(2021秋)

  3. 时尚有氧塑身(2021秋)

  4. 财务分析(2021秋)

  5. 智能养牛与牛病防控技术(2021秋)

  6. 现代检测技术(2021秋)

  7. 摄影摄像艺术(2021秋)

  8. 中医妇科学(2021秋)

  9. 数学模型与最优化技术(2021秋)

  10. 习近平新时代中国特色社会主义思想(2021秋)

  11. 高等数学习题课(2021秋)

  12. 实用日语会话（Practical Japanese Conversation）(2021秋)

  13. 揭开潜意识心理的奥秘(2021秋)

  14. 现代管理学(2021秋)

  15. 线性代数(2)(2021秋)

  16. 计算几何(2021秋)

  17. 力学(2021秋)

  18. 系统工程(2021秋)

  19. 创客培养：趣味力学实验与制作(2021秋)

  20. 社会研究方法(2021秋)
© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。