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例1.1.3

下一节:例1.1.4

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例1.1.3课程教案、知识点、字幕

下面我们来看这样一个具体的例子

已知函数fx在D上有界

那么由确切存在定理

如果有界的话

确切一定存在

让我们证明这两件事

我们以第一个为例

负fx在集合D上的上确界

让我们证明

它是fx下确界的相反数

那么这件事呢

我们并不难想象

比较容易能够想出来

也就是说负fx上界中的最小者

应该就是fx下界中的最大者

再加一个负号

我们仅证第一个

第二个留给大家自己练习

好 我们来证明一下

仅以第一个为例

那么这里怎么说明呢

我们用一个符号来说明吧

比分说我们令右端这个符号

令fx在集合D上的下确界

比方说我们用符号m来表示

那么大家看

首先下确界

首先是下界

第一 任意的x属于D

那么fx均大于等于m

第二 它是下界中的最大者

也就是任给ε大于0 均存在x属于D

使得fx小于m加ε

也就是它稍微再加一点呢

就不再是下界了

好 那我们把这个不等式两端

都乘个负1

大家看一看这又是什么结论

我们说从而第一个表达式

我们给它乘个负1

也就是任意的x属于D

负的fx就均小于等于负m

那么第二个表达式

我乘个负1

也就是任给ε大于0 都存在x属于D

这样负的fx就大于负m减ε

你仔细看一看

这个定义又是什么呢

大家看

这里我们把负x看作一个整体

首先负x这个整体

是小于等于负m的

言外之意负m是它的一个上界

再者任给ε大于0

负m稍微减掉一点点

它就不再是上界了

就存在一个x属于D

负的fx比它要大

那这就说明了什么呢

这个负m不是别人

这个负m就是负的fx

这个数集当x属于D时

这个集合的上确界

好 那么m是谁呢

别忘了m是我们开始设的

它也不是别人

就是fx这个数集

当x属于D时

这个集合的下确界

这样我们就直接利用确界的定义

证明了这件事

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例1.1.3笔记与讨论

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