Cauchy收敛准则在线视频

下面我们来讨论第二部分

柯西收敛准则

在数列极限中我们讨论过类似的内容

那么函数极限

也有相应的柯西收敛准则

我们来具体看一看柯西收敛准则的形式

那么这里我们以x趋向于x0为例

那么这个函数极限存在

当且仅当任给ε大于0

存在δ大于0

当x1 x2都在以x0为中心

δ为半径的去心领域的时候

这时他们的函数值之间的距离

是小于ε的

柯西收敛准则的意思不难理解

如果这个函数极限存在

不妨设成a

当x和x0足够近时

那么fx和a的距离

就可以小于事先给定的ε

那么x1 x2都和x0足够接近时

fx1和fx2和a的距离

都小于ε

那么相应的它们彼此之间的距离也不会太远

那么反过来呢

如果任给一个ε大于0

总能够找到一个δ大于0

只要x1 x2落在x0为中心

δ为半径的去心领域里

他们的函数值之间

彼此离得都不太远

那么这时我们可以猜测

当x趋向于x0时

这个函数的极限也应是存在的

这和数列极限的柯西收敛准则

十分相似

下面我们来看一下这个定理的证明

从左往右比较容易证

这个极限首先假设它是存在的

那么我们这样

不妨设x趋于x0时

这个函数的极限为a

好 那么任给一个ε大于0

那么存在一个δ大于0

任意的x 只要x满足x减x0的绝对值

大于0 小于δ

那么就有fx减去A的绝对值小于ε

那当然了 在这啊

我们用一下极限的等价定义

小于ε当然没有问题

当然为了我最后证出右端的这个情形

我干脆对2分之ε谈

这也是可以的

好 现在我们x1 x2

它们是满足x1 x2 都在以x0为中心

δ为半径的去心领域

实际上这句话的意思

也就是x1和x0的距离小于δ

大于0

x2和x0的距离也大于0 小于δ

那么这时

我们看它们都满足了相应的这个条件

自然就有fx1减A的绝对值小于2分之ε

那么fx2呢

减A的绝对值也小于2分之ε

从而我们就有fx1减fx2的绝对值

小于等于由绝对值不等式

就小于等于fx1减A的绝对值

加fx2减A的绝对值

这样就小于了ε

那么必要性这个方向

我们就证明好了

下面我们来证明充分性这个方向

充分性这个方向

我们来证明一下

那么这个条件大家看

这个条件非常的长

我们在归结原则有类似的这种条件

证明数列极限与函数极限的归结原则时

我们曾经也遇到过类似的问题

也就是这一方

我们要证充分性时

这个已知条件特别的长

那么我要证明这个函数极限存在

这比较复杂

当时我就说了

经常我们遇到这种情况时

需要用反证法

好 必要性的证明

我们就证好了

下面我们要证充分性

也就是由右端的条件

来推出x趋向于x0时

函数极限存在

证明函数极限存在

大家知道我们已经讨论过归结原则

也就是数列极限和函数极限的关系

那么我们可以考虑由右端来利用归结原则

证明出函数极限存在

下面我们来看看怎么书写

要利用归结原则啊

我们首先有了右边的已知条件

也就是任给ε大于0

已经存在一个δ大于0了

当x1 x2进入了以x0为中心

δ为半径的去心领域

那么就有fx1减去fx2它的绝对值

首先是小于ε的

好 这是这件事首先成立了

那么我们这么看

要用归结原则来证明这个函数极限存在

现在我就应该任给一个数列xn

好 怎么给呢

这时啊

我们让n趋于无穷时

xn的极限是x0

但是呢 我们又要求xn不得x0

好 我们的目标就是证什么啊

就证明fxn的极限是存在的

就可以了

好 下面我们来对它

用一下数列极限的定义

对上述的δ大于0

那么我存在一个大N

当小n大于大N时

就有xn减x0的绝对值小于你给的δ

但是这个绝对值是大于0的

因为我们假设xn不得x0

好 那么现在任何的mn大于大N

这样xn减x0的绝对值大于0小于δ

xm减x0的绝对值

也大于0小于δ

那就有fxn减去fxm

它绝对值的差小于ε

这时我们把写的

这个部分里面的重点画出来

大家看一看

也就任给一个ε大于0

我找到了一个大N

当小m 小n大于大N时

就有fxn减fxm的绝对值小于ε

大家看一看把红颜色的这几部分

放到一起

这是什么意思呢

这说明的不是别的意思

就是fxn这个数列是一个柯西列

好 我们再这加一个

记它是柯西列

在数列极限中

我们讨论过柯西收敛准则

一个数列收敛 当且仅当它是柯西列所以我们看到了

n趋向于无穷时

fxn的极限是存在的

从而n趋于无穷时

fxn这个极限是存在的

那么我们令其为A

要利用归结原则

我们要说明任何一个不等于x0而趋向于x0的数列 xn

fxn的极限都是相同的值

我们现在给了一个数列xn

只说明它的极限存在了

我们下面要做的事

就是说明任何一个数列xn

xn不得xo

其极限均为a

那么我再给一个数列yn

比方说呢yn它的极限也是x0

而且我还要求yn是不得x0的

那么由上边的讨论

我们同理可以得到n趋无穷

fyn这个极限也是存在的

或者说fyn是一个柯西列

那么这时当然你不能设它极限是a了

比方说我们设它极限是b好了

那我们要做什么事啊

我们就想说明啊

任何一个这样的数列

他们最后收敛的值

都是一个值

相同的值

这样也就说明了函数极限存在

那么我们下边的目标很明确

就是下证AB相等

如何证呢

我们构造一个数列zN

比方说令z2n减1等于xn好了

令z2n等于yn好了

这样呢我们就得到了一个新的数列zn

它满足什么事呢

大家看 它满足的是

当n趋于无穷时

zn它的极限是x0

而且还满足zn是不得x0趋于x0的

那么我们同理

fzn也是一个柯西列

也就是说n趋于无穷时

fzn这个极限是存在的

这个极限存在它的子数列的极限

也是存在的

从而我们大家看

当n趋于无穷时

fz2n减1的极限

和n趋于无穷时

fz2n的极限应该是相等的

大家看fz2n减1的极限是谁呢

这个极限不是别人

这个极限正是A

所以呢 左边这个极限是等于A的

而大家再看z2n实际上就是yn

那么fz2n的极限是谁呢

也不是别人

这就是B

所以呢 我就得到了AB相等

这样我们就证明了任给一个数列zn

zn趋向于x0

而zn不得x0

fzn它的极限都为A

这样由归结原则

我们就可以说明当x趋向于x0时

fx的极限是存在的

由归结原则

x趋向于x0时

fx的函数极限存在

当然了 此时不是别人就是a

和数列极限不同

函数极限的过程

比较复杂

那么我们这里是以x趋向于x0时极限存在

讨论了它的柯西收敛准则

那么相应的还有其他情形的柯西收敛准则

比方说x趋向于无穷情形的

那么x趋向于无穷情形的柯西收敛原理

大家可以写出来吗

我想你可以试一试

另外 我们现在就由两种方法

证明一个函数极限存在了

一个方面可以用归结原则

另一个方面可以用柯西收敛准则

好这一部分我们就讨论到这