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四则运算法则

下一节:例2.2.1

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四则运算法则课程教案、知识点、字幕

接下来我们继续讨论第二节内容

极限存在的充分条件

第一部分是极限的四则运算法则

我们首先来回顾一下

四则运算法则的内容

若an的极限为A

bn的极限为B

那么c倍的an 这个数列的极限

就是c倍的a

an加bn的极限是a加b

an乘bn的极限是a乘b

当b不得0时

an为比上bn为 它的极限就是a除以b

好 我们简单的来回顾一下

数列极限的四则运算法则的证明过程

1和2的证明比较简单

那么我们以2 3 4为例

这里以2为例

要证明an加bn的极限是a加b

那么我们就做一个差

an加bn 减去A加B

它的绝对值

大家可以把它写成

an减A加上bn减B的绝对值

那么它就小于等于an减A的绝对值

加上bn减B的绝对值

那么我们由极限的定义

an的极限是A

那就任给ε大于0

存在一项n1

小n大于大N1时

an减a的绝对值小于ε

同样也存在一项n2

bn减B的绝对值小于ε

在小n大于大n2时

这样取n为n1 n2的最大值

那么小n大于大N时

an加bn减去a加b

它的绝对值就小于两倍的ε

这样2就证明好了

下面我们再来看一下3

这里要证明an乘bn的极限

是a乘以b

那么an乘以bn就减去A乘以B

好 我们来中间加一项 减一项

这里我们减去一项A倍的bn

再加上一项A倍的bn

再减去A乘B

那么由绝对值不等式

就小于等于bn的绝对值乘以an减A的绝对值

加上A的绝对值乘以bn减B的绝对值

好 根据我们前面讲过的

数列如果收敛的话

它就是有界的

所以这里边

我们看bn的绝对值

它实际上呢

是一个有界的数列

小于等于某一个M倍的

下边是乘以an减A的绝对值

加上A的绝对值

乘以bn减B的绝对值

由于an的极限为A

bn的极限为B

刚才我们由2得到了

存在一项大N

小n大于大N之后

an减A的绝对值

与bn减B的绝对值均小于ε

这样我们就得到了an乘以bn

减A乘B的绝对值

小于一个常数乘以ε

由前边讲的极限的等价定义

我们知道这也就证出了

an乘以bn的极限是A乘以B

那么最后我们还要证明一下除法的运算法则

那么这里我们只需证明n趋无穷时

bn分之1的极限是B分之1

那为什么呢

如果你证明了bn分之1的极限是B分之1

那么我们看an除以bn

我们可以看成an乘以bn分之1

这样再由第三条

乘法的运算规则

我们就可以得到an比上bn的极限

是A比上B

好 我们如何证明bn分之1的极限

是b分之1呢

我们同样来分析一下

这里要证bn分之1的极限是B分之1

我们就将它们两个做差

那这个绝对值呢

我们来看一看

通分以后呢

是bn的绝对值

B的绝对值

分子呢是bn减B的绝对值

这里我们前提是B不得0

好 由极限的定义

任给ε大于0

首先存在一项N1是正整数

当小n大于大N1时

bn减去B的绝对值是小于ε的

那么大家看

这一个表达式的分子

当小n大于大N时

就可以小于ε了

那么这里边B的绝对值是一个常数

我可以先放在这里不管

我们需要处理的就是bn的绝对值

这样一项

由于我们要证明

bn分之1的极限是B分之1

我这个不等式要最终是小于号

也就是说我要放缩的话

bn的绝对值要大于某一个数

好 下面呢 我们来证明这件事

我们利用不等式

bn的绝对值减B的绝对值

那么再取一个绝对值

是小于等于bn减B的绝对值的

这样我们就能推出从bn的极限得B

就能推出当n趋无穷时

bn的绝对值的极限

是B的绝对值

就是由这个不等式推出的

也就是说bn减B

它的绝对值小于ε

那么bn的绝对值减B的绝对值

再取绝对值也小于ε

这样就推出这个极限

那么B的绝对值

是一个正数

它是大于2分之B的绝对值的

我们再由保号性存在一项N2

是正整数

当小n大于N2时

我们有它的极限既然是b的绝对值

它就得首先啊

大于2分之B的绝对值

好了 最后我们取N为

N1 N2的最大值

那当然 在这我们就可以写出来了

当小n大于大N时

此时bn的绝对值是大于2分之B的绝对值的

那这里bn的绝对值的倒数

就小于等于B的平方分之2ε

这样我们就证出的bn分之1

减b分之1的绝对值

小于常数倍的ε

也就相当于证明出了bn分之1的极限

是B分之1

这是极限四则运算法则的证明过程

我们最后看一看四则运算法则

an的极限是A bn的极限是b

我们有这样的结论

那么这是两个数列之间的关系

也就是有了an 有了bn

那么他们之间四则运算

我可以这样算

那如果是多个数列怎么办

三个数列的话

我就可以把三个数列中某两个数列先看成一部分

第三个数列看成另一个部分

那么如果是有限个数列

我都可以利用极限的四则运算法则

也就是说极限的四则运算法则

我们对有现象的数列做四则运算

都可以用

但大家一定要注意的是

n趋无穷的过程中

如果项数会随着n的变化而变化

我们是不能利用四则运算法则的

后边我们会看到相应的例子

高等数学习题课课程列表:

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9(1)

--例2.2.9(2)

--例2.2.9(3)

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义(1)

--函数极限的定义(2)

--函数极限的定义(3)

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分(6月14日之前看完)

--函数极限的定义(1)

--函数极限的定义(2)

--函数极限的定义(3)

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

四则运算法则笔记与讨论

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