当前课程知识点：高等数学习题课 > 第二章 数列极限 > 第2节 数列极限存在的充分条件 > 四则运算法则
接下来我们继续讨论第二节内容
极限存在的充分条件
第一部分是极限的四则运算法则
我们首先来回顾一下
四则运算法则的内容
若an的极限为A
bn的极限为B
那么c倍的an 这个数列的极限
就是c倍的a
an加bn的极限是a加b
an乘bn的极限是a乘b
当b不得0时
an为比上bn为 它的极限就是a除以b
好 我们简单的来回顾一下
数列极限的四则运算法则的证明过程
1和2的证明比较简单
那么我们以2 3 4为例
这里以2为例
要证明an加bn的极限是a加b
那么我们就做一个差
an加bn 减去A加B
它的绝对值
大家可以把它写成
an减A加上bn减B的绝对值
那么它就小于等于an减A的绝对值
加上bn减B的绝对值
那么我们由极限的定义
an的极限是A
那就任给ε大于0
存在一项n1
小n大于大N1时
an减a的绝对值小于ε
同样也存在一项n2
bn减B的绝对值小于ε
在小n大于大n2时
这样取n为n1 n2的最大值
那么小n大于大N时
an加bn减去a加b
它的绝对值就小于两倍的ε
这样2就证明好了
下面我们再来看一下3
这里要证明an乘bn的极限
是a乘以b
那么an乘以bn就减去A乘以B
好 我们来中间加一项 减一项
这里我们减去一项A倍的bn
再加上一项A倍的bn
再减去A乘B
那么由绝对值不等式
就小于等于bn的绝对值乘以an减A的绝对值
加上A的绝对值乘以bn减B的绝对值
好 根据我们前面讲过的
数列如果收敛的话
它就是有界的
所以这里边
我们看bn的绝对值
它实际上呢
是一个有界的数列
小于等于某一个M倍的
下边是乘以an减A的绝对值
加上A的绝对值
乘以bn减B的绝对值
由于an的极限为A
bn的极限为B
刚才我们由2得到了
存在一项大N
小n大于大N之后
an减A的绝对值
与bn减B的绝对值均小于ε
这样我们就得到了an乘以bn
减A乘B的绝对值
小于一个常数乘以ε
由前边讲的极限的等价定义
我们知道这也就证出了
an乘以bn的极限是A乘以B
那么最后我们还要证明一下除法的运算法则
那么这里我们只需证明n趋无穷时
bn分之1的极限是B分之1
那为什么呢
如果你证明了bn分之1的极限是B分之1
那么我们看an除以bn
我们可以看成an乘以bn分之1
这样再由第三条
乘法的运算规则
我们就可以得到an比上bn的极限
是A比上B
好 我们如何证明bn分之1的极限
是b分之1呢
我们同样来分析一下
这里要证bn分之1的极限是B分之1
我们就将它们两个做差
那这个绝对值呢
我们来看一看
通分以后呢
是bn的绝对值
B的绝对值
分子呢是bn减B的绝对值
这里我们前提是B不得0
好 由极限的定义
任给ε大于0
首先存在一项N1是正整数
当小n大于大N1时
bn减去B的绝对值是小于ε的
那么大家看
这一个表达式的分子
当小n大于大N时
就可以小于ε了
那么这里边B的绝对值是一个常数
我可以先放在这里不管
我们需要处理的就是bn的绝对值
这样一项
由于我们要证明
bn分之1的极限是B分之1
我这个不等式要最终是小于号
也就是说我要放缩的话
bn的绝对值要大于某一个数
好 下面呢 我们来证明这件事
我们利用不等式
bn的绝对值减B的绝对值
那么再取一个绝对值
是小于等于bn减B的绝对值的
这样我们就能推出从bn的极限得B
就能推出当n趋无穷时
bn的绝对值的极限
是B的绝对值
就是由这个不等式推出的
也就是说bn减B
它的绝对值小于ε
那么bn的绝对值减B的绝对值
再取绝对值也小于ε
这样就推出这个极限
那么B的绝对值
是一个正数
它是大于2分之B的绝对值的
我们再由保号性存在一项N2
是正整数
当小n大于N2时
我们有它的极限既然是b的绝对值
它就得首先啊
大于2分之B的绝对值
好了 最后我们取N为
N1 N2的最大值
那当然 在这我们就可以写出来了
当小n大于大N时
此时bn的绝对值是大于2分之B的绝对值的
那这里bn的绝对值的倒数
就小于等于B的平方分之2ε
这样我们就证出的bn分之1
减b分之1的绝对值
小于常数倍的ε
也就相当于证明出了bn分之1的极限
是B分之1
这是极限四则运算法则的证明过程
我们最后看一看四则运算法则
an的极限是A bn的极限是b
我们有这样的结论
那么这是两个数列之间的关系
也就是有了an 有了bn
那么他们之间四则运算
我可以这样算
那如果是多个数列怎么办
三个数列的话
我就可以把三个数列中某两个数列先看成一部分
第三个数列看成另一个部分
那么如果是有限个数列
我都可以利用极限的四则运算法则
也就是说极限的四则运算法则
我们对有现象的数列做四则运算
都可以用
但大家一定要注意的是
n趋无穷的过程中
如果项数会随着n的变化而变化
我们是不能利用四则运算法则的
后边我们会看到相应的例子
-课程序论
--课程序论
-第1节 集合的界与确界
--集合的界的概念
--例1.1.1
--确界的定义
--例1.1.2
--例1.1.3
--例1.1.4
--例1.1.5
--例1.1.6
--例1.1.7
-第1节 练习题--作业
-第2节 函数的性质
--映射与函数定义
--反函数
--例1.2.1
--例1.2.2
--例1.2.3
--例1.2.4
--例1.2.5
--例1.2.6
--例1.2.7
--函数的性质
--例1.2.8
--例1.2.9
--例1.2.10
--例1.2.11
--例1.2.12
--例1.2.13
--例1.2.14
-第2节 练习题--作业
-第3节 几个不等式
--不等式
--重要不等式
-第1节 数列极限的定义
--数列极限的定义
--例2.1.1
--例2.1.2
--例2.1.3
--例2.1.4
--例2.1.5
--例2.1.6
--例2.1.7
--子数列的极限
--例2.1.8
--例2.1.9
--数列极限的性质
--例2.1.10
--例2.1.11
-第2节 数列极限存在的充分条件
--四则运算法则
--例2.2.1
--例2.2.2
--例2.2.3
--夹挤准则
--单调有界定理
--重要极限
--例2.2.4
--例2.2.5
--例2.2.7
--例2.2.8
--例2.2.10
--例2.2.11
--例2.2.12
--无穷大量
--例2.2.13
-第2节 练习题--作业
-第3节 实数理论
--Video
--区间套定理
--定义总结
--例2.3.1
--例2.3.2
--例2.3.3
--例2.3.4
--例2.3.5
--例2.3.6
--例2.3.7
--例2.3.8
--例2.3.9
-第一次单元测试--作业
-第1节 函数极限的定义与性质
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--例3.1.7
--海涅定理1
--海涅定理2
--例3.1.8
--例3.1.9
--例3.1.10
-第1节 练习题--作业
-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量
--复合函数的极限
--例3.2.1
--例3.2.2
--例3.2.3
--例3.2.4
--例3.2.5
--例3.2.6
--Video
--无穷大量
--例3.2.8
--例3.2.9
--例3.2.10
-第2节 练习题--作业
-第二次单元测试--作业
-第1节 函数的连续性
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-第1节 练习题--作业
-第2节 闭区间连续函数的性质
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-第2节 练习题--作业
-第3节 函数的一致连续性
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--Video
-第3节 练习题--作业
-第三次单元测试--作业
-第1节 数项级数
--引言
--例1
--例2
--例3
--例4
--例5
--例6
--例7
--例8
--例9
--例10
--例11
--例12
--例13
--例14
-第1节 重积分（6月14日之前看完）
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--Video
-期末考试--结课考试
