例3.2.4在线视频

下面我们再继续利用等价无穷小替换

来求解几个极限问题

我们来看第一个极限

这里x是趋于无穷的

那么x分之1是趋0的

cosx分之1就趋于1

lncosx分之1就是趋于0的

那么这时

有了对数我们自然想到一个等价无穷小替换

x趋于0时

ln1加x是等价于x的

好 我们看能不能利用上这个结论

等于极限过程是x趋于无穷

那么ln

这里啊要写成1加x的形式

那我给它写成一个1加cosx分之1再减1好了

这时我们把这两个量

看成一个整体

大家注意

当x趋于无穷时

x分之1是不等于0

而趋向于0

从而cosx分之1

是不等于1而趋向于1

所以它减1

就是不得0而趋0

这时符合复合函数的运算

我们这里直接就利用等价无穷小了

这里x方不动

ln1加上它

就等价于cosx分之1减1

大家注意

我接着进行运算

当x趋于无穷时

注意这是乘除的形式了

这是一个表达式和另一个表达式相乘

那么当x趋于无穷时

x分之1是趋于0的

所以这就让我们想起了另一个等价无穷小

当x趋向于0时

1减cosx等价于2分之1x方

你看啊 这个x分之1是不等0而趋0的

在这 我们在x方这不动

但是你注意

这是cosx分之1减1

我提一个负号出来

那这就是1减cosx分之1

那么x趋于无穷

x分之1趋于0

它等价于2分之1x方分之1

这样这个x方和分母的x方就约掉了

从而最终的极限值是负2分之1

那么这个问题呢

我们就顺利的解决了

但这里有一个问题值得注意

我们在证明等价无穷小替换的这个结论时

是fx除以gx

我们首先把它除以一个f1x乘以一个f1

再除以一个g1乘以一个g1

这也就告诉我们等价无穷小直接替换时

实际上最直接的应用

是应用到乘除运算中

大家看这个题目

有的同学在这一步

它也想用等价无穷小替换

它想这样预谋一下

这里你比方说它写上x趋于无穷

x方它就写成了ln

那么这个是等价于负的2分之1x方

然后他又发现这个等于x趋于无穷

x方 那么这时他趋0

我就换成负的2分之x方

也得负2分之1

这样这个代换啊

是十分危险的

我们说这里我们在证明等价无穷小替换时

是乘除运算

而这里ln里边

我们是不能这样替换的

这实际上应该叫做错误的过程

得到了正确的结论

所以这啊

我们要打一个叉

这是错误的过程得到了正确的结论

那么等价无穷小替换呢

大家一定要注意

接下来我们看第二个小问题

让我们求这个极限

大家看整体最外层的运算

还是做乘法运算

所以这里呢

可以考虑是否能够用等价无穷小替换

我们看x趋向于无穷时

x分之1

是不等于0而趋向于0

从而sinx分之1

也是不等于0而趋向于0的

这样我们就可以替换了

它等于x趋向于无穷时

那么e的sinx分之1次方减1

我就首先给它替换成sinx分之1

好 那接下来这个怎么做都行了

你如果愿意替换

你可以将sinx分之1再替换一次

x乘以x分之1

这样 这个表达式就是1了

极限值自然也是1

如果你不愿意替换

那么你把这个x弄到分母上去

就变成了x分之1

当x趋于无穷时

x分之1是不等于0

而趋于0的

sinx分之1比x分之1

我们也由重要极限可以得到

它等于1

同样 我们有的同学

这里边是这样写的

有同学一看x趋于无穷时

这里x分之1是趋于0的

那么sinx分之1

我可不可以直接就等价于x分之1呢

变成了这样

然后当x趋于无穷时

那大家一看x分之1趋于0

e的x分之1次方减1

等价于x分之1

这得1

那么它这画上了等号

这就又糟糕了 糟糕了 糟糕了

糟糕在什么地方

这里我们我们运算

这个指数运算中是不能先利用等价无穷小替换的

所以你这里第一步就错了

那后边呢我们就不看了

这实际上也是错误的过程

得到了正确的结论

大家一定要注意

等价无穷小替换

我们应该由最外层

向里层一步一步的去替换

下面我们来看第三个例题

这里x趋于正无穷

x方乘以3的x分之1次方

减去3的x加1分之1次方

那看到这个形式

大家一定想到了指数函数的那个等价无穷小代换

具体说来

也就是x趋于0时

a的x次方减1

等价于x乘以lna

那你注意了

这里首先要有减1啊

所以怎么办呢

我们先给它提取一个3的x加1分之1

这里x方不动

好 这样同底数幂相除底数不变 指数相减

x分之1减去x加1分之1

就是这个形式

最后呢再减1

大家看一看 注意了

x趋正无穷时

我们关注的这个量是不等于0而趋于0的

这时我们就可以用这个等价无穷小替换了

3的x加1分之1

这里是x方

那么用指数函数的这个等价无穷小代换

它就等价于x乘以x加1分之1

再乘以ln3

好 我们来看 实际上呢x趋于正无穷

x加1分之1是趋于0的

这个极限呢是1

我实际上刚才就可以求出它来

当然我现在求也没问题

这是一个2次多项式

这也是一个2次多项式

这个比值x趋于无穷

极限应该是最高次项系数比1

所以最终就得到了这道题的答案是ln3

这道题呢我们就计算完了

那么这里有的同学看到这个形式

你看a的x次方要减1啊

有同学这样写

大家看可不可以

有的同学是怎么写的呢

他发现啊

这里需要减1

他这样做

3的x分之1次方减1

然后减去我后边3的x加1次方也减个1

好 那有同学说

我把这个替换一下

我把这个也等价无穷小替换一下

那这样是否可以呢

当然现在它是可以画等号的

没问题

接下来 有的同学就这样写了

他就等于这个极限x趋于正无穷

好 这里边呢

他就等价无穷小替换了

一个是x分之1乘ln3

一个是x加1分之1

也乘以ln3

然后最后啊

当然ln3就提取出来了

剩下这两个通分之后

容易看出来极限是ln3

我们现在就有一个大大的问号了

这一步是可以做的吗

这个等号能不能做

这可不可以呢

实际上这也是错误的过程得到正确的结论

那么这里为什么是错误的呢

我们在后边马上就要揭晓这个答案

请大家留意

还是这句话

等价无穷小替换

在乘除使用时 没有问题

那么在其余情况下

我们一会儿再继续接着说

有了前面几个小题的基础

第四个小题我们就可以迎刃而解了

这个极限呢 我们看一下分母

首先有一个ln1加x

它是当x趋于0等价于x的

所以我把分母直接写成了x的4次方

而这一部分

1减cos2分之x

是不等于0而趋于0的

所以我可以直接替换成

2分之1减cos2分之x的平方

好 我们再来看

当x趋于0时

那么2分之x也是不得0而趋于0的

这呢 x的4次方分之1我放在这

2分之1我放在这

里边1减cos2分之x

它是等价于2分之1 2分之x的平方的

外边还有一个平方

好 此时大家看

这时4次方和4次方就约掉了

我们常数看一看得多少

答案最终是128分之1

这里我们大家一看分子根据前面的经验

我们是不能先把那个1减cos2分之x

进行替换的

我们要从外边替换起

那么到了这一步

大家也许会有一个疑问了

不是不能先替换里边的吗

为什么这平方的话

我先把里边替换了呢

这里巧了

这平方可以看成两个1减cos2分之x相乘

那么这整体上

还是乘除运算

所以呢 我两个可以同时替换

那这时

最后就得到了正确的答案

这是正确的过程

得到了正确的结论

好 这个例题我们就讨论到这