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例3.2.8

下一节:例3.2.9

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例3.2.8课程教案、知识点、字幕

我们首先来看一个例子

这个例子是这样叙述的

fx不等于0

它是x趋于x0时的无穷大量

让我们证明它的倒数是x趋于x0时的无穷小量

那么在同一个极限过程下

无穷大量的倒数一定是无穷小量

当然 前提是非0的

那么非0的无穷小量

它的倒数也是无穷大量

我们来看一看这个具体的证明过程

这实际上是等价的

我们只从左往右做个例子

反过来呢请大家自己证了 自己练习

我们目标是证这个极限得0

你要证这个极限得0啊

自然我们要最终任给ε大于0

我们的目标是什么呢

我们的目标是找一个δ

当x和x0的距离大于0小于δ

fx分之1的绝对值小于ε

我们在这仍然需要早有预谋

这里我们希望fx分之1减0的绝对值

小于ε

其实也就是希望fx的绝对值

是大于ε分之1

那当然 就问大家了

它绝对值能不能大于ε分之1啊

这显然是可以的

那我们就预谋成功了

那我这么说吧

任给ε大于0

给好了ε就固定了

对ε分之1大于0

由于当x趋于x0时

fx呢是无穷大量

故存在一个δ大于0

当x在以x0为中心 δ为半径的去心领域时

有 那我对哪一个数谈的呀

我对ε分之1谈的

有fx的绝对值大于我们事先给好的ε分之1

从而这样也就证出了fx分之1

减0的绝对值

是小于ε的

我们将重点的部分画出来

任给ε大于0

存在δ大于0

当x在x0为中心 δ为半径的去心领域时

有这个结论成立

这些画圈的放到一起

连在一起

表达的不是别的意思

正是x趋于x0时

fx分之1的极限为0

这样我们就证明了这件事

反方向呢

我们请大家自己练习了

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例3.2.8笔记与讨论

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