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例1.1.1

下一节:确界的定义

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例1.1.1课程教案、知识点、字幕

首先我们来看一下例1

已知函数FX 等于X方分之1

第一问 设δ大于0

让我们证明FX在负无穷到负δ

并上δ到正无穷上有界

要证明一个函数有界

就要证明它函数值的集合

既有下界也有上界

好 我们先看一下第一问的具体证明

这里X属于负无穷到负δ

左开右闭区间

并上δ到正无穷 左闭右开区间

那么此时函数值FX

它等于X方分之1

当然是小于等于δ的平方分之1

那这就已经说明它有上界了

当然 它本身也是非负的

所以呢 也有下界

这样 故FX等于X方分之1

在这个区间负无穷到负δ

并上δ到正无穷这个区间上有界

下面我们来看第二问

让我们证明FX在负无穷到0开区间

并上0到正无穷开区间上

没有上界

那么如何证没有上界呢

刚刚我们已经给了定义

这里大家注意到FX等于X方分之1

他是大于0的

所以这里我们证它没上界

要任意给一个正数

都能够找到一个X

使得它的函数值超过这个正数

这就证明了函数值的集合没有上界

好 我们具体来看一看

我们的目标是任意给一个正数大于0

我们需要找到一个X属于负无穷到0

并上0到正无穷

那么使得他的函数值要超过M

这里怎么着呢

我们要用一下预谋的过程

也就是说用分析法

我们看我们要找一个X

它的函数值X方分之1要大于M

那么实际上呢

也就是说X方要小于M分之1

那这里我只要找到一个X就可以了

好 这里边由于这个过程比较简单

我们就直接取X等于

比方说2倍根号M分之1

这样FX就等于X的平方分之1

那么就等于4倍的M

显然它是大于M的

我们任给一个M大于0

都能够找到一个X

使得它的函数值超过M

这就证明了函数值集合

在负无穷到0

并上0到正无穷上

是没有上界的

这里存在一个X

也就是说我们只要找到一个X就可以

那么 满足条件的X

可能是不唯一的

比方说我取成负的二倍根号M分之1

也是可以的

我取成三倍根号M分之1

也是可以的

只要我找到一个X就可以

这里这个X呢

我们经常也给他写成一个下标XM

那为什么呢

因为我们大家看

随着M的变化

我们可能取到的点也不同

这样 我们用XM表示X

会随着M的变化而变化

好 这样我们就证明了FX等于X方分之1

在负无穷到0

并上0到正无穷这个区间上

无上界

好 这样我们就解决了这个问题

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例1.1.1笔记与讨论

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