当前课程知识点：高等数学习题课 > 第一章 实数与函数 > 第1节 集合的界与确界 > 例1.1.4
下面我们来讨论几个确界的等价定义
好 题目是这样叙述的
已知A是实数集的子集
它是一个有界集合
那么a和k为常数
好 并且k呢是正的常数
让我们来证明下列三种说法等价
大家看第一种说法
任意的ε大于0
存在X属于A
使得X大于a减ε
大家看这个说法
这事实上就是上确界中的第二条
也就是来叙述a是上界中的最小者
那么和它等价说法有几条呢
我们来看下面两条
第二条
第二条任意的ε属于0到1
存在X属于a
使得X大于a减ε
大家发现第一条和第二条有差别
差别在任意的ε大于0
还是任意的ε属于0到1
那么我们再看看3
3是这样叙述的
任意的ε大于0
存在X属于A 使得X大于a减kε
大家看第三条和第一条又有差别
在最后这个不等式上
我们将证明这三条都是等价的
也就是说呢
我们这三条中
任何一个来叙述a是上界中的最小者
都是可以的
好 下面我们来证明这件事
好 我们来首先证一下1和2这两种说法等价
那么你要证明两种说法等价呢
那就要互相推了
我们来看这里1首先推个2吧
1推2啊 我们说这是显然的
这个是真显然
为什么呢 大家看
1说了 任给ε大于0
使得后面这件事成立
那么我第二件事情说任给ε属于0 1
后面这件事自然也成立
这真的是显然
那反过来我们再看一看
2如何推1呢
2说了 任给一个ε属于0到1都成立
那么我如何证明任给ε大于0
均成立呢
那我们就这样任给ε大于0
那么我们只讨论ε大于等于1时的情形
好 由于ε属于0到1这件事已经成立了
那自然我们只要证明ε大于等于1
后面这件事也成立
那么任意的ε大于0
就也成立了
好 我们来看看如何证
不就是要找一个X属于a吗
使得x比a减ε要大 是吧
所以我们的目标是要这样找
找一个X属于a
X要比a减ε要大
好 这里边啊我们要用一个早有预谋的过程
那么你看2现在推1
2首先是成立的了
那这里我们要用不等式
这个不等式的思想是什么呢
我们后面极限也会提到
这个要证啊 a大于c
我们只需找一个b 找一个b
a如果大于b了 b如果大于c了
那自然结论就是a大于c
那么大家来关注一下
我现在ε属于0到1
这件事都对
好 大家看我这样写
首先 2分之1的确是属于0到1的
那么2分之1属于0到1
自然存在一个X属于A
使得X要大于a减去2分之1
那么现在ε是大于等于1的
a减2分之1自然要大于a减ε
所以呢
我们这里天然的就写了一个大于号
那么大家连起来一读
也就是说任给一个ε大于等于1
我也能找到一个X属于A
使得X大于a减ε
那么这样就证明了2和1
这两种说法是等价的
也就是说呢
我们只要对较小的ε
这件事对了
那么 较大的 也就任意大于0的ε
这件事也是正确的
当然 我们有时为了方便
可能ε并不一定在0到1之间
也有可能在0到2
或者是0到某个区间
这都是等价的
不同问题 采用的方式可能不同
所以呢1 2等价
我们要根据问题的需要来选取合适的说法
好 下面我们再看1和3之间的等价证明
那么类似刚才的吧
我们还是先1推3
好 这里边我们要证明3
就要给3的条件
3的条件是啥啊
就是任给ε大于0
3的结论就是存在一个x属于A
使得这件事成立
好 我们来看任给ε大于0
好 这是任给ε大于0
一旦给好 这个ε就给好了 给定了
那么1是这样叙述的
1说你给一个数大于0
最后X就比A减去你给这个数要大
那么这里任给ε大于0了
大家来看k倍的ε自然也是大于0的数
是吧
1条件怎么说的
1条件是这么说的
你给一个数大于0
就大于a减去你给的这个数
那我现在给k乘ε大于0可不可以了
自然也是可以的
我们说由1自然就存在一个X属于A
使得X大于a减去你给的数
你现在给的不是别人
你现在给的是Kε
这样1就推出了3
那反过来 3如何推1呢
我想大家应该学会这种想法了
我们3来推1
这个3推1啊
3就相当于是已知的
任给ε大于0
最后X就大于a减去k倍的你给的这个数
这里大家还记得k是一个正数啊
常数
那么怎么办呢
我们要证1
任给ε大于1
这个ε啊是1中的ε 是吧
好 我们最后要证明x大于a减ε
有这样一个x
那怎么办呢？
我们大家看k分之ε也是大于0的
那么我们要用3
3说就存在一个X
使得X大于a减去你给的这个数的k倍
现在啊 我给这个数大于0
自然由3吧
它就存在一个x属于A
使x大于a减去
我给的数的k倍
我现在给的不是别人
现在给的是k分之ε
这样整理出来它就是a减ε
好 这样我们就证明了1 3之间的等价
根据问题的需要
如果有时我们证明存在一个x
使得x大于a减2ε 或3ε
或某一个正的常数乘以ε
这相当于证明了a是最小的上界
这两件事是等价的
这样我们还是根据问题的需要
来选取不同的叙述方式
好 等价定义的三个讨论
我们就说到这
-课程序论
--课程序论
-第1节 集合的界与确界
--集合的界的概念
--例1.1.1
--确界的定义
--例1.1.2
--例1.1.3
--例1.1.4
--例1.1.5
--例1.1.6
--例1.1.7
-第1节 练习题--作业
-第2节 函数的性质
--映射与函数定义
--反函数
--例1.2.1
--例1.2.2
--例1.2.3
--例1.2.4
--例1.2.5
--例1.2.6
--例1.2.7
--函数的性质
--例1.2.8
--例1.2.9
--例1.2.10
--例1.2.11
--例1.2.12
--例1.2.13
--例1.2.14
-第2节 练习题--作业
-第3节 几个不等式
--不等式
--重要不等式
-第1节 数列极限的定义
--数列极限的定义
--例2.1.1
--例2.1.2
--例2.1.3
--例2.1.4
--例2.1.5
--例2.1.6
--例2.1.7
--子数列的极限
--例2.1.8
--例2.1.9
--数列极限的性质
--例2.1.10
--例2.1.11
-第2节 数列极限存在的充分条件
--四则运算法则
--例2.2.1
--例2.2.2
--例2.2.3
--夹挤准则
--单调有界定理
--重要极限
--例2.2.4
--例2.2.5
--例2.2.7
--例2.2.8
--例2.2.10
--例2.2.11
--例2.2.12
--无穷大量
--例2.2.13
-第2节 练习题--作业
-第3节 实数理论
--Video
--区间套定理
--定义总结
--例2.3.1
--例2.3.2
--例2.3.3
--例2.3.4
--例2.3.5
--例2.3.6
--例2.3.7
--例2.3.8
--例2.3.9
-第一次单元测试--作业
-第1节 函数极限的定义与性质
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--例3.1.7
--海涅定理1
--海涅定理2
--例3.1.8
--例3.1.9
--例3.1.10
-第1节 练习题--作业
-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量
--复合函数的极限
--例3.2.1
--例3.2.2
--例3.2.3
--例3.2.4
--例3.2.5
--例3.2.6
--Video
--无穷大量
--例3.2.8
--例3.2.9
--例3.2.10
-第2节 练习题--作业
-第二次单元测试--作业
-第1节 函数的连续性
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-第1节 练习题--作业
-第2节 闭区间连续函数的性质
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-第2节 练习题--作业
-第3节 函数的一致连续性
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-第3节 练习题--作业
-第三次单元测试--作业
-第1节 数项级数
--引言
--例1
--例2
--例3
--例4
--例5
--例6
--例7
--例8
--例9
--例10
--例11
--例12
--例13
--例14
-第1节 重积分（6月14日之前看完）
--例3.1.2
--例3.1.3
--例3.1.4
--例3.1.5
--例3.1.6
--Video
-期末考试--结课考试
