当前课程知识点：高等数学习题课 >  第二章 数列极限 >  第2节 数列极限存在的充分条件 >  单调有界定理

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单调有界定理

下一节:重要极限

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单调有界定理课程教案、知识点、字幕

求极限的另一种方法

就是单调有界定理

单调有界定理是这样叙述的

若an这个数列单调有界

则极限存在

如果具体的讲

可以分成两种情况

如果an这个数列是单调递增

有上界 那么极限一定存在

这个极限不是别人

就是上确界

若an单调递减有下界

那么它的极限也能存在

这个极限也就是它的下确界

下面我们来看一下这个证明的梗概

不妨设数列an有上界

并且是单调递增

由前面讲到的

如果一个数列存在上界

那么一定有上确界

我们把上确界记为A

好 上确界它的定义是这样的

首先它是一个上界

第二 它是上界中的最小者

也就是说任给一个ε大于0

好 我们把A稍微减掉一点点

它就不再是上界了

言外之意数列中存在一项

那么使什么事成立呢

使aN是大于A减ε的

它不是上界了

有人比它大

由于数列是单调递增的

那这里我们当小n大于大N时

大家注意到an就大于aN

这样它也就大于A减ε

从而我们看an大于A减ε

an是小于等于A的

因为A是一个上界 上确界

小于A加ε

从而我就得到了an减A的绝对值

小于ε

我们将重要的部分再画一下

任给ε大于0

我们找到了一个大N

小n大于大N时

这件事小于ε

这样我们就证出了单调有界定理

下面我们从另一个角度

来理解一下单调有界定理

我们画一个图来简单的理解一下

你这个数列

比方说这是x 这是y

这个an是自变量

取在正整数上的一个函数

123 等等等往下取

那么大家看这个数列

它是有上界的

比方说它有一个上界是M

假设这个数列是单调递增的

a1 a2 a3一直往上走

a4 a5 a6等等等往上走

那么大家注意这个数列是单调递增的

它就要往上边走

从图像上来讲

这些点的纵坐标依次增大

但是上边有一条线M拦着它

不让它往上走 是吗

所以我一边又要往上走

一边上边有一条线拦着你

不让你往上走

最后大家就变得怎么样了呢

最后 an中的项

都挤到了一起

言外之意

也就是它有一个极限

好 不难想象这个极限

就是它上界中的最小者

也就是上确界

在实际生活中

我们也经常能够遇到类似的例子

比方说在人群较多的地方

容易发生踩踏事件

那么道理和单调有界定理就是类似的

比方说一列行进的人群

那么后边的人推着前边的人往前走

但前边的人发现呢

前边是不能走的

所以后边的人并不知道

后边的人继续推着你往前走

前边的人呢

就不敢往前走了

这时大家就挤到了一起

它的道理

和单调有界定理如出一辙

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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--Video

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--Video

--Video

-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

单调有界定理笔记与讨论

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