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例3.2.10

下一节:例3.2.10思考题

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例3.2.10课程教案、知识点、字幕

下面我们再来解决一个函数极限的问题

这里给了一系列的分段函数

设f1x 当x在1到2时

取值为x x在大于2时取值为x分之1

那么n大于等于2时 定义fnx

1到n时取值为1

n到n加1时取值为x的n次方

n加1到正无穷时

仍取值为x分之1

这里有三问需要来解决

第一问 让我们对任意固定的n

让我们求x趋正无穷时

fnx的极限

第二问 这从f1乘到fn 连乘

然后令n趋于无穷

这相当于我这个应该叫做无穷多个

这样的函数乘到一起

得到一个新的函数

这个函数在1到正无穷上的表达式

让我们求解

最后呢 求解这个大F

当x趋于正无穷时的极限

好 我们首先来看第一问

首先我们来解第一问

这里fnx

那么这个对于固定的n

那么这里无论是f1x 还是fnx

我们大家看

最后我们解决的

是x趋于正无穷时的问题了

那x趋于正无穷时

你注意

x要充分大

那么对于固定的n

n现在固定了

总有某一个时刻之后啊

x要比n加1大

因为n是固定的 x趋于无穷

所以无论是在f1x里也好

还是fnx里也好

这里只要x超过了n加1

这时fn表达式

都应该取作第二段

也就是这是x分之1

从而当x趋正无穷时

极限是0

第一问比较简单

那么大家看了

对于每一个固定的n

fnx都是x趋于正无穷时的无穷小量

此时极限是0

所以他们都叫无穷小量

是x趋于正无穷这个极限过程下的

下面我们来考虑第二问

那么我们第二问里要求

大Fx在1到正无穷上的表达式

这里啊我们不妨先求一步

比方说当x在1到2之间时

那么这里我们看一看

这时作为f1x来讲

它呢就是等于x的

这没问题

那么f2x应该取哪个呢

这时啊

我们看这个n是大了的

n增大了

x没变

所以这里从n得2开始

我们取的都是第一段表达式了

所以f2x

甚至是f3x

一直到fnx

他们都是取第一段表达式得1的

好 那么此时我们把它乘起来

这时呢 当然我要把f1x

乘到fnx

乘好了以后 最后让n趋于无穷取极限

这时它们乘起来就是x

和n是无关的

取了极限还是x

这是1到2

那么接下来当x大于2时

我们这里要仔细的分析了

x要是大于2

那么我总存在一个n0

它是正整数

使得x是大于n0加1

而小于等于n0加2的

那么我们看 这个fn表达式里的第二段

如果这个x大于n0加1

小于n0加2

那么这时它取第二段的值

应该是x的n0加1次方

从而 我们这么说吧

此时我们能够写下的

就是fn0加1x

它是取x的n0加1次方

然后fn0加2之后

这时n又变大了

所以呢 表达式又回到第一段了

一直等下去

比方说等于fnx它就都取1了

那为什么后边n要大一些呢

你注意最后我这个是n趋无穷

所以这是没给x固定一个x了

我们就让n趋无穷算一次

所以每给一个x

n总是有一时刻要大于x的

所以呢 这是没有问题的取第一段

那么之前的肯定都取的是第三段

也就是f1x一直等于

等到fn0x

取的都是x分之1次方

现在我们列好了表达式

就可以把它们乘起来进行运算了

这样f1x f2x fn0加1x

一直乘到fnx

大家看这个乘起来是多少呢

这前边这是n0个x

这是x的n0加1次方

后边都是1

其实这个乘完了

它就是x

那么从而大Fx是令n趋于无穷取的极限

当然这个x取了极限之后还是x

因为它与n无关

原来啊大Fx的表达式就是x

这是在一到正无穷上都成立的

那么此时第三问也就迎刃而解了

x趋于正无穷时

大Fx的表达式本身就是x

从而极限也是正无穷

这样我们就求解好这个问题了

下面我们还要深度的分析一下

大家看到了对于每一个固定的N

当x趋向于正无穷时

它的极限都是0所以每一个fn

都是x趋于正无穷时的一个无穷小量

那么大Fx大家看是这样一个表达式

它是几个小f乘起来呢

它先是n个小f乘起来

这n个小f乘起来之后

n又趋于了无穷

这又相当于是无穷多个小f乘到了一起

无穷多个小f乘到了一起

那么每一个小f

都是x趋于正无穷时的无穷小量

那么大家看

这里边当x趋于正无穷时

这是无穷多个无穷小量的乘积

最后我们乘完了以后

得到了大Fx是一个正无穷大量

这说明了一件事

无穷多个无穷小量的运算

最终有可能是无穷大量

我们四则运算所能处理的

只是有限项的问题

那么当无穷多项相乘

无穷多个无穷小量相加

这时所得到的答案

可能是我们意想不到的结果

好 这一部分的内容

我们就讨论到这

高等数学习题课课程列表：

第零章 课程序论

-课程序论

--课程序论

第一章 实数与函数

-第1节 集合的界与确界

--集合的界的概念

--例1.1.1

--确界的定义

--例1.1.2

--例1.1.3

--例1.1.4

--例1.1.5

--例1.1.6

--例1.1.7

-第1节 练习题--作业

-第2节 函数的性质

--映射与函数定义

--复合与基本初等函数

--反函数

--例1.2.1

--例1.2.2

--例1.2.3

--例1.2.4

--例1.2.5

--例1.2.6

--例1.2.7

--函数的性质

--例1.2.8

--例1.2.9

--例1.2.10

--例1.2.10思考题

--例1.2.11

--例1.2.12

--例1.2.13

--例1.2.14

-第2节 练习题--作业

-第3节 几个不等式

--不等式

--例3.1 Cauchy不等式

--重要不等式

--例3.2 Bernoulli不等式

第二章 数列极限

-第1节 数列极限的定义

--数列极限的定义

--例2.1.1

--例2.1.2

--数列极限定义的分析

--例2.1.3

--例2.1.4

--例2.1.5

--例2.1.6

--例2.1.7

--子数列的极限

--例2.1.8

--例2.1.9

--数列极限的性质

--例2.1.10

--例2.1.11

-第2节 数列极限存在的充分条件

--四则运算法则

--例2.2.1

--例2.2.2

--例2.2.3

--夹挤准则

--单调有界定理

--重要极限

--例2.2.4

--例2.2.5

--例2.2.7

--例2.2.8

--例2.2.9（1）

--例2.2.9（2）

--例2.2.9（3）

--例2.2.10

--例2.2.11

--例2.2.12

--无穷大量

--例2.2.13

-第2节 练习题--作业

-第3节 实数理论

--Video

--区间套定理

--Bolzano定理

--Cauchy收敛准则

--定义总结

--例2.3.1

--例2.3.2

--例2.3.3

--例2.3.4

--例2.3.5

--例2.3.6

--例2.3.7

--例2.3.8

--例2.3.9

-第一次单元测试--作业

第三章 函数极限

-第1节 函数极限的定义与性质

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--例3.1.7

--海涅定理1

--海涅定理2

--例3.1.8

--例3.1.9

--例3.1.10

-第1节 练习题--作业

-第2节 复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量

--复合函数的极限

--例3.2.1

--例3.2.2

--Cauchy收敛准则

--无穷小量与等价无穷小替换

--例3.2.3

--例3.2.4

--例3.2.5

--例3.2.6

--例3.2.6思考题

--Video

--无穷大量

--例3.2.8

--例3.2.9

--例3.2.10

--例3.2.10思考题

-第2节 练习题--作业

-第二次单元测试--作业

第四章 函数的连续性

-第1节 函数的连续性

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-第1节 练习题--作业

-第2节 闭区间连续函数的性质

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-第2节 练习题--作业

-第3节 函数的一致连续性

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-第3节 练习题--作业

-第三次单元测试--作业

第五章 级数

-第1节 数项级数

--引言

--例1

--例2

--例3

--例4

--例5

--例6

--例7

--例8

--例9

--例10

--例11

--例12

--例13

--例14

第七章 多元函数积分学

-第1节 重积分（6月14日之前看完）

--函数极限的定义（1）

--函数极限的定义（2）

--函数极限的定义（3）

--例3.1.2

--例3.1.3

--例3.1.4

--例3.1.5

--例3.1.6

--Video

期末考试

-期末考试--结课考试

例3.2.10笔记与讨论

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