当前课程知识点：简明线性代数 > 第1章 线性方程组 > 1-1 二元、三元一次方程组 > 1-1 二元、三元一次方程组
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线性代数先修课
第一章 线性方程组
1.1节 二元、三元一次方程组的求解
今天我们要给大家介绍
以下几个内容
第一个我们从鸡兔同笼问题谈起
第二我们将介绍某类二元
三元一次方程组的求解
第三我们为了求解线性方程组
我们将引入二阶三阶行列式
那么我们从鸡兔同笼问题开始谈起
我们之前说过线性代数当中的
线性实际上对应的是一次函数
那么在大学课程里边
我们这个函数的自变量将增加变成n个
同时这个函数个数也将增加
那么我们假设变成m个
于是这样就形成了一个一次线性方程组
那么对于线性方程组实际上
我们中国古代就有讨论和研究
在《孙子算经》中有著名的
鸡兔同笼问题
它说的是有鸡和兔同笼
上有35个头下有94只脚
问鸡和兔各有几只？
那么求解这样的问题
一个最自然的方法
就是设鸡和兔的数量分别为x和y
于是可以列出这样的一个线性方程组
那么要求解这个二元一次方程组
方法有很多，我们现在有一种流传地
比较幽默的方法是这样的
我们可以令所有小动物都抬起一只脚
于是鸡就变成了一只脚站立
兔子是三只脚站立
接着再令所有的动物再抬起一只脚
那么这个时候鸡就一屁股坐到了地上
而兔子是两只脚站立
于是我们就有这样的一个算式
94减掉35再减掉35等于24
也就是说这个时候有24只脚还站在地上
那么由于这个时候
每只兔子是有两只脚站在地上
所以兔子的数量
就等于24除以2等于12只
那么这个时候鸡的数量X
就等于35减12等于23只
这样的一个求解过程
既幽默又不失数学思想
它背后的数学思想
实际上就是用方程2减去方程1的两倍
于是可以消去x求出y
求出y以后再代回原方程组就可以求得x
而这样的一个思想
就是我们今天要给大家介绍的
消元法
下面我们就把这样一个过程把它抽象化
假设我们有这样的
一个二元一次方程组
它的系数我们用参数a11 a12 a21和a22来表示
好我们下面来求解这个方程组
首先我们把方程(1)乘以
a22变成这样的一个方程
再把方程(2)乘以a12
得到另一个方程
于是把两式相减就可以消去x2
得到x1的一个算式
类似的方法我们也可以消去x1
得到关于x2的这样一个算式
那么，当我们的a11乘以a22减去a12乘以a21
不等于0的时候
我们就可以求得x1和x2
用这样的算式表示出来
好，我们观察一下这个算式
我们会发现，这两个式子的分母
都是相同的
而且，都由方程组的四个系数来决定
好，为了方便，我们引入这样的一个记号
这是我们的分母那么为了更清楚地表示
我们把四个系数按照方程组的
原来的位置列出来
并且在两侧加上两条竖线
来表示这样的一个算式
当然这只是一个记号而已
下面，我们为这个记号取个名字
取什么样的好？我们来看一下
在这个算式里边
我们有行、有列、有算式
所以，我们给它取一个名字
叫作二阶行列式
接下来，我们来看一下
这个二阶行列式里边有两个乘积
我们用粉色的表示正项
用黄色的表示负项
那么我们来讨论一下
它的正号和负号是怎么取的
如果，我们把这个行列式当中
左上角到右下角连一条线
这条叫做行列式的主对角线
从左下角连到右上角的这条对角线
我们叫做副对角线
好，那么，这样形象地我们就可以看到
取正号的就是主对角线上的
两个元素相乘
而取负号的就是副对角线上的
两个元素相乘
这样的方法简单形象
我们称为对角线法
好，我们再把方程组和解列出来
来继续看它的分子
我们会发现两个式子的分子
分别由两个系数和两个常数项
共同确定
那么由于我们刚才已经介绍了
行列式的概念
所以我们用这个行列式的记号
可以把X1的分子这样地表示出来
同样道理，我们也可以把X2的分子
用行列式的记号把它表示出来
请大家观察一下这两个行列式
它们有什么样的特点？
好为了方便记忆这两个行列式
我们给大家介绍一下（方法）
那么由于我们已经知道了
系数矩阵组成的行列式
那么我们可以看到X1的分子所对应的这个
行列式相当于把系数矩阵的
行列式的第一列换成常数项b1和b2
那同样的道理X2的分子上的这个行列式
相当于把系数矩阵的行列式的
第二列换成常数项b1 b2
于是就得到了这两个行列式
最后，我们再把二元线性方程组的解
用行列式的方式表达出来
总结一下，就是这样的一个公式
分别是x1等于D1除以D
x2等于D2除以D
这里的D就是系数矩阵二阶行列式
而D1就是把D的第一列换成常数项
得到的行列式
D2就是把系数矩阵的第二列
换成常数项b1b2得到的行列式
同样地，我们也可以考虑
三元一次方程组的求解
我们假设三元一次方程组用如下（算式）表示
那么我们可以用同样的方法
用消元法解出x1、x2和x3
我们可以看到这三个算式都相当复杂
下面，我们将引入合适的记号
帮助大家记忆这样的算式
首先，我们来分析一下
通过观察我们会发现
上述三项式子的分母都是相同的
均为以下的六项代数和
而且每一项都是三个元素相乘
第二，如果我们分析
每项的三个元素的下标
我们会发现：
它们均取自不同的行与不同的列
那么，我们把第一个下标叫做行下标
第二个下标叫做列下标
进一步分析这些下标，我们会发现：
如果我们把行下标
按照升序的方式排列后
列下标恰好取遍1,2,3的
所有全排列
我们用红线标记
大家可以看
(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)
(1,3,2),(2,1,3)和(3,2,1)
是全部的(关于)1,2,3的
所有全排列
于是,我们和二元线性方程组一样
引入行列式的概念
保留了系数在方程组中原来的位置
并且在两边加上了竖线
把这样的式子称为三阶行列式
接下来，我们来讨论一下
三阶行列式当中的符号问题
那么,我们把行列式再写出来
我们会发现
六项代数和当中有三项取正号
我们用蓝色的标记
有三项取负号我们用黄色的标记
那么，问题就在于
哪三项取正号？哪三项取负号？
我们知道，二阶行列式
我们用对角线的法则来给出符号
三阶行列式同样可以用对角线法则
我们把与主对角线平行的
蓝色的线上的三个元素的
乘积冠以正号
我们把副对角线以及与副对角线
平行的三条黄线上的三个元素的
乘积冠以负号
这样的方法方便我们去
判断正号或负号
我们把它统一地叫做对角线法则
下面我们来看一个具体的例子
这是一个三元一次方程组
我们用刚才的方法来求解
首先计算系数矩阵组成的三阶行列式
那么计算的方法就用对角线法则
三项正数和三项负数
计算结果等于负5，不等于0
所以我们可以继续
接下来，分别去计算
D1、D2和D3。计算的方法和刚才一样
D1是把D的第一列换成常数项
得到一个行列式
计算结果也等于负5
D2就是把D的第二列换成常数项
计算结果等于负10
D3就是把D的第三列换成常数项
计算结果也等于负5
于是我们就求得了方程组的解为
x1等于1 x2等于2 x3等于1
这样，我们就得到了
三元一次方程组统一解的方法
下面，我们对本讲进行一个小结
我们本讲当中我们引入了
二阶和三阶行列式的概念
并且用行列式的方法
给出了一类二元、
三元线性方程组的求解公式
这里指的“一类”，就是指那些方程个数
等于未知数个数
并且，系数组成的行列式
D不等于0
而且我们会发现
这求出来的解是唯一的
接下来，请大家进一步思考以下问题
问题一、类似于二阶三阶行列式的概念
我们是不是可以引进四阶、
五阶甚至是一般的n阶行列式
那么，类似于本节的求解公式
对于四元、五元甚至是
n元线性方程组
是不是也有求解公式
然而我们知道，一般的方程组
并不见得都满足我们本节的求解条件
那么，我们的问题三就是
当方程组的个数不等于
未知数的个数的时候
应该怎么办
问题四、当系数组成的行列式D
等于0的时候
我们又该怎么办
问题五、我们有没有方法去判断
一般的线性方程组的解数是多少
线性方程组是我们《线性代数》这部“大戏”
的两个主人公之一
对它的解的探索问题贯穿了
我们《线性代数》这门课程的始末
是一条主要的线索和脉络
我们将在后面的课程当中
进一步的学习和介绍
我们今天的课程就到这儿
我们下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
