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同学们大家好
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第二章 行列式
2.3节 n阶行列式的定义
在本节当中
我们将为大家介绍n阶行列式的定义
用定义计算行列式
以及行列式的等价定义
首先 我们来回顾一下2阶和3阶行列式
我们引入行列式的定义
主要是为了求解线性方程组
但是 给出这个定义以后
展开项当中的符号
一直是困扰我们的问题
虽然一开始 我们用对角线法则
决定了2阶行列式和3阶行列式的符号
但是 直到上一节当中
我们引入了逆序数这个概念以后
才真正对行列式的定义
给出了一个统一的代数表达式
就是这样的两个代数表达式
那么 对于这个代数表达式
我们很容易把它从2,3的情况推广到
任意正整数
而得到n阶行列式的定义
那么 这就是我们本节的主要内容
一 n阶行列式的定义
那么根据刚才的代数表达式
我们把2,3直接自然地写成n
就得到了n阶行列式的定义
这个定义是一个代数表达式
下面 我们对它进行仔细的说明
第一 这个代数表达式是
是一个n的阶乘项的求和
第二 每项均选自不同的行
不同的列的n个元素的乘积
第三 每一项的符号
是按这样的原则来决定的
当我们行下标按自然排列排好之后
列下标排列的奇偶性就决定了
这一项的正负号问题
第四 行列式里边
正好是一个n乘n的矩形数表
而我们之前介绍过矩阵的概念
所以 行列式可以自然地看成
对于一个方阵的一种运算
我们也把它记作det(A)或者|A|
二 用定义计算行列式
行列式的计算是行列式相关问题的核心
我们首先先来看一个例子
例1 写出4阶行列式展开式中
同时含有a_13和a_32的项
并确定正负号
首先 我们设4阶行列式是这样
那么 我们用黄色标记出了
a_13和a_32的位置
那么 我们按照定义展开以后
同时含有a_13和a_32的项
一定是这个样子
大家看 这个里边
只有两个参数还没有决定
分别是j_2和j_4
它们俩只能是1和4的排列
所有只有14和41两种可能
因此 我们可以把同时包含
a_13和a_32的两项都写出来
再用定义式计算其逆序数
就可以知道第一项取正号
第二项取负号
另外一种思路
我们也可以按照
不同行不同列的原则
来考虑这个问题
我们把a_13所在的行和列划掉
再把a_32所在的行和列划掉
剩下的只有4个元素
再在这4个元素当中选取
不同行不同列的两个元素
就只有两种可能
因此 用这样的思路
也可以得到相同的结果
请大家思考
对角线法则对4阶行列式是否成立?
这个问题对于初学者
经常是一个困扰
好 我们来看一下
如果对角线法则成立
则我们把所有
和主对角线平行的线画出来
一共有4条
和副对角线平行的线画出来
也有4条
那么 如果对角线法则对4阶行列式成立的话
则它只能得到8项
但是 我们4阶行列式的定义中
知道它应该有4的阶乘
也就是应该有24项代数和
所以 对角线法则对于
4阶行列式就不再成立了
我们也可以从另外一个角度来考虑
对于刚才的例1
我们来看:如果对角线法则成立的话
同时包含a_13和a_32的项有哪些
那么 我们把经过a_13的对角线
或副对角线画出来
那么 把经过a_32的对角线
或者副对角线画出来
只有这4条
那么 通过这4条的分析我们发现
没有任何一条同时经过a_13和a_32
所以 用对角线法则判断的话
就不存在这样的项
但是这个结论
和我们刚刚的例1的结论是相悖的
所以 这也从另外的一个角度说明了
对角线法则对于4阶行列式是不成立的
那么 像对角线法则这样
对n=1,2,3成立
但是对n大于等于4
就不再成立的事物
还有很多
比如说:我们在一维空间
二维空间和三维空间当中
都可以画出几何图形
但是 到了四维以上的空间
就没法再画出几何图形
再比如:我们中国的汉字
对于一,二,三分别是一横,两横和三横
但是这并不代表四,五,六
也应该是四横,五横或者是六横
如果是这样的话
那要用中国汉字写出百,千,万这样的字
那岂不是累死人啦
好 下面我们再来看一个例子
这是一个4阶行列式
请求出这个4阶行列式
最后的表达式当中x^3的系数
我们来分析下
在这个4阶行列式当中
x的位置分别是
第一列有1个x 第二列有一个x
第三列有2个x
那么 由不同行不同列的选取原则
我们会知道含有x^3的系数
的项只有两种可能
它们分别是这两项
所以 根据行列式的定义
我们就能写出x^3的系数
最终是负1
下面我们来看这三个行列式
你观察一下这三个行列式
分别有什么样的特点
你一定发现了
这三个行列式当中都包含很多的0
比如说 第一个行列式
除了主对角线上的元素以外
其他位置全是0
第二个行列式
除了主对角线及其上方的元素以外
它下方全是0
第三个
就是主对角线上方的元素全都为0
于是 等于0的话
表示我们这里是一个空洞
于是 我们可以形象地
对这三个行列式
分别取名为对角行列式
上三角行列式和下三角行列式
我们的例3就是请大家证明
以上三种行列式
均等于其主对角线元素的乘积
我们只以下三角行列式为例来证明
我们把下三角行列式写在这里
按照不同行不同列的原则
在第一行当中 我们只有1个非零项
就是a_11
所以 第一行我们只能取a11
那么 按照不同行不同列的原则
其他的元素就不能再在
第一行和第一列当中取了
所以我们划掉第一行
再划掉第一列
在剩下的元素当中
我们再来看第二行
第二行当中 我们又只能取a_22(非零)
于是 我们又把第二行和第二列划掉
以这样的方法
我们最终就知道
所有的非零项只有1项 就是
a_11乘以a_22一直乘以a_nn
其次 我们来决定非零项的符号
根据行列式的定义
这一项的符号由其列下标的排列来决定
而这个列下标的排列正好是自然排列
所以它是一个偶排列
因此 它的符号取正号
于是 我们就证明了这个结论
我们再来看一个例子
这是一个5阶行列式
请大家计算这个行列式的值
首先 我们观察一下
这个行列式有什么特点
对 这个行列式
当列指标大于等于3的时候
a_3j,a_4j和a_5j均为0
然而 对于行列式展开式中的每一项
j_3,j_4和j_5都互不相同
那么 它们三个当中
必然有一个大于等于3
从而 每项乘积里都一定包含0
因此 每一项乘积都为0
因此 整个行列式的计算结果等于0
我们在介绍2阶行列式
和3阶行列式的时候
都有一个性质 叫做行列等价性
那么 对于我们行列式的定义式当中
我们会看到它的符号
仅与列下标的排列有关
那么 自然的问题就是
它会与行下标的排列有关系吗
好 下面我们就来讨论
行列式的等价定义
请大家思考这个问题
若行列式展开式中的行指标
不按自然排列的顺序
则此项的符号应该如何确定
我们首先先来解释下
为什么行指标可以不按自然序排列?
我们设行列式定义式中的
展开项当中有一项为a_{1,j_1} a_{2,j_2}
一直到a_{n,j_n}
那么它的符号就由j_1 j_2一直到j_n
的逆序数来决定
因为数的乘法具有交换性
所以 我可以把此项当中的
任何两个元素进行交换
比如 我们把前面两个元素进行对换
那么 每做一次元素的对换
那么元素换了
它所对应的行下标和列下标
都进行了对换
因此 它可推出行指标与列指标的排列
同时都做了一次对换
这又可推出
行指标排列与列指标排列的奇偶性
同时发生了变化
又可推出
行指标排列与列指标排列的逆序数之和
的奇偶性是保持不变的
因此 我们对于一个这样的项
经过若干次的对换后
总可以化成这样的一个项
则 我们有如下的等式
特别地
若把每一项的列指标
都按自然顺序排列的时候
也就是我们把k_1 k_2一直到k_n
取成自然排列的时候
我们就有这个等式
因此 我们可以给出行列式的等价定义
就是这样的表达式
请大家仔细观察一下
等价定义当中的表达式和
原来定义当中的表达式
当中的相同和不同之处
从这个等价定义当中
也可以看到行列式当中
行与列的地位是相同的
在本节当中
我们介绍了行列式的定义
它分别是n的阶乘项代数和
每项取自不同行不同列的n个元素相乘
每项的符号由逆序数的奇偶性来决定
另外 我们给出了行列式的等价定义
从而说明了行列式当中
行与列等价性
本讲的内容就到这
我们下讲 再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
