当前课程知识点：简明线性代数 > 第2章 行列式 > 2-8 Cramer法则 > 2-8 Cramer法则
同学们 大家好
欢迎来到MOOC课程
线性代数-先修课
第二章 行列式
2.8节 克拉默(Cramer)法则
在本讲当中
我们将回顾
我们利用二阶、三阶行列式
给出二元、三元线性方程组的
求解公式的这个过程
并且 把这个过程推广到
一般的三阶的情况
从而得到
关于n元线性方程组的求解公式
也就是我们的克拉默法则
好 首先
我们来回顾一下
含参二元一次方程组的求解过程
在第一章当中
我们利用二阶行列式
把这样的一个二元一次方程组的解
表示成了x_1等于D_1除以D
x_2等于D_2除以D
其中 D为系数行列式
并且 D不等于0
而D_1和D_2分别对应了
把D的第一列或者是第二列
换成常数项b_1,b_2
这个公式简洁明了
而且便于记忆
那么
对于含参的三元一次方程组
我们利用三阶行列式
可以把原来很复杂的求解公式
把它表示为简洁的x_i等于D_i除以D
其中 D依然表示方程的系数行列式
而D_i表示把D的第i列
换成常数项得到的新的行列式
这样的表达方式简洁明了
而且具有规律性
因此 我们希望
把它推广到一般的情况
下面 我们根据
二元和三元线性方程组的
求解公式推测
对于一般n元的情况有类似的结果
也就是 如果我们有这样一个
(具有)n个方程n个未知数的线性方程组
并且 它的系数行列式D不等于0
则方程组有唯一解
且解可以表示成x_j等于D_j除以D
我们把这个解记为(*)式
其中 D_j是由线性方程组的常数列
替换系数行列式中第j列元素
所得到的行列式
当然 这只是
我们猜测的一个结果
下面 我们来证明它
要证明这个结论
我们分为两步
第一步 证明存在性
也就是去证明
我们给定的(*)式
满足原来的方程组
而我们只需要验证
它满足第一个方程
而其它方程同理
对于存在性
我们给出两种不同的证明方法
证法一
我们把D_j按照第j列展开
可以得到这样的一个公式
其中j从1,2一直到n
下一步 我们把我们的(*)式
也就是x_j等于D_j除以D
代入第一个方程的左边
可以得到这样的一个式子
其次 我们把D_j展开式
代到上式当中
可以得到这样的式子
重新组合排列以后
我们得到这样的一个式子
其中 和每一个b_i相乘的我们
用圆括号括起来
而仔细观察这些圆括号里边的式子
它正好对应了我们对矩阵D的
若干个替换展开公式
根据替换展开公式我们知道
这个式子当中只有一个不等于0
也就是第一个不等于0
因此 我们只得到了这个结果
再把D和D分之一约分
就证明了这个式子
确实是等于D_1
也就是(*)式确实满足第一个方程
那么 其它方程同理
下面 我们用另外一种方法
来证明存在性
如果(*)式成立
也就是x_j等于
D_j除以D满足第一个方程
那我们就有这个等式成立
那么 由于D不等于0
那么 这个等式成立又当且仅当
下面这个等式成立
对于下面这个等式
请大家观察一下
你看到这个等式的左边
你想到了什么？
对 同学们有没有想到
这个等式是
n+1个n阶行列式的计算组合
那么 它应该对应了
某一个n+1阶的行列式的展开
那么 它到底对应了
哪个n+1阶行列式的展开式？
我们来分析一下
首先 我们考虑第一项
也就是b_1乘以D
它对应了一个n+1阶行列式的
第一行当中放上b_1
而它对应的余子式正好就是D
我们把它写成这样
好 那么对于第二项
也就是-a_11乘以D_1
我们要在这个n+1阶行列式的
展开式当中出现这一项
我们在第一行第二列的位置
就要放上a_11
那么在第一列的其它位置
就要把常数项b_1,b_2
一直到b_n作为列
于是 我们就可以知道
对于第一行第二列展开之后
正好就对应了
我们这个式子当中的第二项
下面考虑一般的第j项
也就是负的a_1j乘以D_j
在n+1阶行列式当中要产生这一项
我们在第一行第j+1列的位置上
就应该放上a_1j
那么 a_1j它所对应的余子式
就是把它所在的行和列划掉之后
剩下的那个行列式
可是 这个行列式
和我们的D_j相比
还有一定的差异
那么 需要我们把第一列
也就是b_1,b_2一直到b_n
移到第j列的位置
那么 要完成这个操作
需要我们把这一列
经过j次相邻的对换
就可以实现这一效果
于是 我们知道行列式的值
产生了负1的j次方的变化
那么 再和代数余子式
前面的(-1)的1+j次方相结合
我们就得到了最终的符号
是一个负号
正好就等于
我们第三个画红线的项
因此 我们就知道
对于这样一个n+1阶行列式
把它的第一行展开之后
就等于我们上式的左边
另一方面
我们来看
这个行列式的前两行
是完全相同的
因此 这个行列式应该是等于0的
所以 我们就证明了
上面我们要证的这个式子
因此 我们就证明了存在性
下面 我们来证明唯一性
假设c_1,c_2一直到c_n
为原方程的一组解
下面 我们来证明
c_j必然等于D_j除以D
我们把c_1到c_n代到每一个方程
得到下面的这一组式子
对这组式子的每一个式子
我们都两边都乘以A_ij
并且对i进行求和
得到这样的一个等式
对于这个等式的左边
我们把它展开成这个样子
对于这个等式的右边
我们观察一下
它正好就等于D_j的展开公式
所以右边它等于D_j
对于这个式子的左边
它有n项求和
那么利用替换的行列式
展开公式我们就知道
这个等式的左边
只有一项是非零的
而其它项全都等于零
那么 这一项非零的
我们把它保留下来
就发现它就等于c_j乘以D
因此我们就得到了
c_j必然会等于D_j除以D
从而我们证明了唯一性
也就证明了我们的定理
如果Cramer法则成立
那么我们特别地考虑
齐次线性方程组
我们就得到这样的推论
如果n个变量,n个方程组的
齐次线性方程组的系数
行列式D不等于0
则齐次线性方程组只有零解
也就是x_j全都等于0
那么 推论的等价命题也就是
它的逆否命题我们叙述如下:
n个变量
n个方程的齐次线性方程组
如果有非零解
则它的系数行列式D必然等于0
但是反过来
如果系数行列式D等于0
我们能否推出齐次线性方程组
一定有非零解
我们的答案是肯定的
但是 我们需要学习更多的内容
我们将在将来给出证明
下面 我们用Cramer法则
来解决一个具体的线性方程组
对于这个线性方程组
我们先求解它的系数行列式
经过计算
它等于67 不等于0
于是 我们可以使用Cramer法则
那么 接下来就是
去计算D_1,D_2,D_3和D_4
计算结果分别如下
那么最终我们套用
Cramer法则的公式
就可以解得方程组有唯一解
分别是x_1等于3分之一
x_2等于0 x_3等于2分之1 x_4等于1
这里我们要说明一下
我们的求解过程看上去很简洁
但是在过程当中
我们需要计算5个四阶的行列式
计算量并不小
当未知量的个数增加的话
这个计算量将大大地增加
下面 我们对Cramer法则
进行一定的说明
我们要讨论一下
Cramer法则的优点和缺点
先来看缺点
我们知道Cramer法则仅适用于
系数矩阵为方阵的线性方程组
这样才能去求系数行列式
第二个缺点 它只能去解
系数行列式不等于0的方程
如果系数行列式等于0
它就没法给出解的公式
第三个缺点
在求解过程当中
我们需要计算n+1个n阶行列式
这个计算量是很大的
那么Cramer法则的优点是什么？
首先 Cramer法则在理论证明中
有非常重要的作用
原因是因为Cramer法则
可以通过线性方程组的系数
以及常数项
直接给出线性方程组的解
我们把这样的解叫做显式解
而这样的显式解是Gauss消元法等
其它方法所不能做到的
特别地
如果线性方程组的系数本身
就是含有参数的
那么 在这种情形下
Cramer法则就比较有效
下面我们给出
Cramer法则的一些应用举例
例2
设P_i为平面上不共线的三个点
它的坐标分别是x_i和y_i
且x_1 x_2和x_3两两互不相等
请大家求过_1 P_2和P_3的
一条二次曲线y等于ax平方加bx加c
这个题也就是请大家确定a b c
分别等于多少
下面我们来求解
我们将P)_i的坐标
代到曲线方程当中
我们就得到了这样的一个方程组
这个方程组当中x_i和y_i是已知数
而a,b,c是未知数
因此 这是一个
关于a,b,c的线性方程组
那它的系数行列式就是这样
这个行列式等价于范德蒙行列式
那么根据x_1,x_2,x_3
互不相等这个条件
我们就知道系数行列式不等于0
接下来我们分别去求解D_1 D_2和D_3
其中由于P_1 P_2 P_3三点不共线
因此 我们可以知道
D_1这个三阶行列式的计算结果
是不等于0的
那么 利用Cramer法则
我们可以解出三个未知量
a,b,c分别等于这样
最后 我们把结果代回到
二次曲线当中
就得到了这样的结果
进一步我们再把D,D_1,D_2和D_3
展成关于x_i和y_i的行列式
就是这样的一个结果
其中 我们这里可以看到
画红线的也就是括号里的
这个式子对应了等式右边
这个四阶行列式
按第一行展开的公式
所以我们就这样给出了
这条二次曲线的最终结果
本讲小结
在本讲当中我们介绍了Cramer法则
Cramer法则是行列式的一个应用
利用行列式 我们给出了
n元线性方程组的求解公式
由于Cramer法则
需要计算n+1个n阶行列式
其计算量相当大
所以 在实际计算中 我们很少用到它
但是 它在含参系数的情形
以及理论证明的过程中
都有重要的作用
本章小结
在本章当中
我们把二阶,三阶行列式的
概念与性质推广到了
一般的n阶行列式
并介绍了若干行列式的
性质与典型的计算方法
行列式的定义本身就比较复杂
但它并不是凭空想象出来的
它起源于线性方程组的求解
并在更多的问题中
得到广泛的应用
行列式的计算
是本门课程当中的难点
特别是n阶含参的行列式的计算
希望大家循序渐进
从定义和性质入手
再经过大量的习题演算
最后方能熟能生巧
好
我们本章的内容就介绍到这
我们下章 再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
