当前课程知识点：简明线性代数 > 第5章 线性方程组的解理论 > 5-4 矩阵方程 > 5-4 矩阵方程的求解
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线性代数先修课
第五章
线性方程组的解理论
5.4节 矩阵方程的求解
在本讲当中
我们将讨论形如AX=B的方程
其中A X和B均为矩阵
那么 我们将对于
这样的矩阵方程
给出它的解的情况的判则
并且进一步给出其求解方法
首先我们先来看
这个问题的提出
对于线性方程组AX=B的右边
是一个m维的列向量
它也可以视为
一个m×1型的列矩阵
如果我们将m×1型的列矩阵b
替换为一个一般的矩阵B
也即方程变成了
这个样子的形式
其中(A B)是已知的矩阵
需要求解X
对于这样的问题
我们就称为矩阵方程的问题
首先 由于A是一个m×n型的矩阵
则B的行数必为m
设B为m×s型的矩阵
于是 我们要求解的X
只能是一个n×s型的矩阵
于是我们的问题就是
如何求解矩阵方程当中未知矩阵X
当然 这个问题有一个特殊情况
也就是当m=n
即A为方阵且A可逆的时候
我们知道两边同时左乘以A逆
于是我们可以解出
未知矩阵X就等于A逆乘以B
二 矩阵方程解的情况的判则
进一步
我们来考虑这样的一个问题
当A不是可逆方阵的时候
是否有方法求解未知矩阵X
由于矩阵方程的右边
是一个矩阵B
是由线性方程组右边的
向量b推广而得
这就启发我们可以考虑
采用类似于求解
线性方程组的方法
即Gauss消元法来求解
矩阵方程的问题
我们的思路是这样的
利用分块矩阵的思想
我们可以将矩阵方程的两边
都按列分块的方式来表示
其中 左边将X列分块表示
而右边将矩阵B列分块表示
于是 利用分块矩阵乘法的原则
我们就可以把
矩阵A乘到括号里边
从而就得到了这样一个等式
从而求解未知矩阵X
就等价于分别求解s个
以A为系数矩阵的
线性方程组AXk=bk
其中k从1跑到s
而第k个方程就对应了
上述表达式中的第k列
下面我们来讨论
矩阵方程解的情况的判则
由前面的讨论我们知道
矩阵方程AX=B有解当且仅当
s个线性方程组AXk=bk均有解
而这又当且仅当
s个增广矩阵(A bk)的秩
均要等于原系数矩阵的秩
这又当且仅当
矩阵B的s个列向量
b1,b2,...,bs均属于
矩阵A的列空间
从而 这就当且仅当
在矩阵A的右侧
添加B的s个列之后秩依然不变
也即矩阵A的秩
等于分块矩阵(A B)的秩
等价地
我们知道矩阵方程AX=B无解
就当且仅当矩阵A的秩
小于分块矩阵(A B)的秩
进一步
当矩阵方程AX=B有解的时候
由于每一个线性方程组
AXk=bk都是相互独立的
因此 矩阵方程AX=B有唯一解
当且仅当AXk=bk均有唯一解
这又当且仅当
对所有的增广矩阵(A bk)的秩
均等于原系数矩阵A的秩
且等于A的列数n
从而这又当且仅当A的秩
等于增广矩阵(A B)的秩
等于n
类似地 我们知道
矩阵方程AX=B有无穷多解
就当且仅当矩阵A的秩
等于增广矩阵(A B)的秩
小于A的列数n
把上述讨论总结一下
就得到了我们的定理一
即设A为一个m×n型的矩阵
B为一个m×s型的矩阵
则矩阵方程AX=B无解
当且仅当A的秩
严格地小于分块矩阵(A B)的秩
矩阵方程AX=B有唯一解
当且仅当A的秩等于
分块矩阵(A B)的秩
等于A的列数n
矩阵方程AX=B有无穷多解
当且仅当矩阵A的秩等于
分块矩阵(A B)的秩
严格地小于列数n
而这个结论就可以看成是
一般线性方程组的
解的情况的判定法则的推广
下面我们来讨论
矩阵方程的求解方法
有上述的讨论我们知道
求解矩阵方程AX=B
等价于求解s个
以A为系数矩阵的
线性方程组AXk=bk
并且这s个线性方程组
是相互独立的
那么 我们是否需要
进行s次线性方程组的求解过程呢
实际上
由于s个线性方程组
有共同的系数矩阵A
因此 我们可以把
这s次求解过程合并为一次
具体操作如下
设A的秩等于分块矩阵
(A B)的秩等于r小于等于n
对于分块矩阵(A B)
进行初等行变换
将左半部化为
简化的阶梯型矩阵
为了方便表示
我们不妨设主元素在前r列
有如下的形式
其中虚线的左边是
A化成的简化阶梯阵的形式
而虚线的右边是B化成的形式
由于A的秩等于
分块矩阵(A B)的秩
以及初等行变换
不改变矩阵的秩
我们知道
上式右半部分的
后m-r行必为全零行
由以上简化
阶梯型矩阵的左半部分
我们可以得到
齐次线性方程组
AX=0的基础解系
η1,η2,…,η(n-r)
也即这s个线性方程组
公共的导出组的基础解系
那么由以上
简化阶梯阵的右半部分
我们可以得到
每个线性方程组
AXk=bk的一个特解
我们把它记为ξk
其中如果bk等于零向量
则只需要取特解ξk=0即可
根据5.2节
也就是非齐次线性方程组的
求解方法
我们可以得到方程组
AXk=bk的通解是这个样子的
其中系数t为任意的实数
我们可以把第k个
线性方程组的通解
也即γk表示为这样子的形式
进一步
我们将γ1,γ2,…,γs
按列的方式排起来
就可以得到我们要求解的
未知矩阵X
也就是X等于这样的形式
那么我们再把上述
γk的表达式代到这个式子当中
就可以得到Xk等于右边这个式子
进一步
我们把最右边这个矩阵
也就是(tij)这个矩阵表示为T
他呢是一个n-r行s列的矩阵
而η1,η2,…,η(n-r)
构成的矩阵
是一个n行n-r列的矩阵
它们俩中间两个参数相同
具备可乘原则
而它们俩的乘积就是
一个n行s列的矩阵
就可以和最左边的这个矩阵
也就是由ξ1到ξs
组成的矩阵相加
因为它们是同型矩阵
特别地 当主元素位于
简化阶梯型矩阵前r列的情形下
我们可以把上述等式具体地
表示成这样子的形式
其中矩阵T可以取
任意的(n-r)×s的实矩阵
总结一下 我们就得到了
矩阵方程AX=B的一般求解步骤
第一步 用初等行变换
将分块矩阵(A B)化为
简化的阶梯型矩阵C
其非零行数为r
第二步
如果存在主元素落在后s列
则矩阵方程无解 计算停止
否则r个主元素均落在左半部分
从而r个主元素所在列
对应的r个变量就为主变量
其余的n-r个变量为自由变量
第三步 如下求得s个特解
对于每一个ξk
将其中的自由变量部分全部取零
而主变量部分取为
阶梯型矩阵第n+k列的前r个值
进一步
如果主元个数r等于A的列数n
则如此取定的s个特解
按列的方式排列起来
得到的未知矩阵X
就是矩阵方程唯一的解
于是我们的计算可以停止
否则 也就是r小于n的时候
我们进入下一步
也就是第四步
第四步
由C的前n列给出
导出组的基础解系
η1到η(n-r)
具体方法同5.2节
第五步就可以得到
矩阵方程的通解为
这样的形式
其中矩阵T可以取
任意一个n-r行和s列的矩阵
下面我们用流程图的方式
把上述求解过程表示出来
首先我们对广义的
增广矩阵(A B)进行初等行变换
化成简化的阶梯型矩阵C
下面进行判断主元
是不是在后s列
如果存在主元在后s列
则计算停止 矩阵方程无解
如果没有主元落在后s列
则根据主元的位置
确定r个主变量以及
n-r个自由变量
进一步
由阶梯型矩阵的右半部分
我们可以得到s个特解ξk
接下来进行判断
主元个数r与A的列数n是否相等
如果相等
则把上一步
求出的s个特解并起来
就可以得到矩阵方程的唯一解
且计算停止
如果r严格地小于n
则根据阶梯型矩阵的左半部分
可以求出公共导出组的基础解系
η1,η2,…,η(n-r)
再利用之前求得的特解
以及这时求出的基础解系
即可以解出矩阵方程的
通解形式如下
而这就是我们矩阵方程
AX=B求解的完整的流程图
我们对上述的流程做一个说明
当矩阵方程AX=B有解
且系数矩阵A为可逆阵的时候
则它的解必唯一
且我们可以写出解等于A逆乘以B
那么我们在第三章当中已经介绍过
直接求解A逆乘以B方法
也就是对于这样的分块矩阵
用初等行变换将左边部分化成I
右半部分就是A逆乘以B
那么由于可逆阵所对应的
简化阶梯型矩阵
就是单位阵I
从而上述方法与
我们本节所介绍的
求解矩阵方程的方法是一致的
下面 我们就来看几个具体的例子
例1 设矩阵(A B)分别为
这样的两个三阶方阵
请求未知矩阵X
首先 我们对分块的
增广矩阵(A B)作初等行变换
具体过程如下
最终我们把它化成了
一个阶梯型矩阵的形式
此时我们会发现
第三行的主元素-7
落在了右半部分
因此我们可以知道
A的秩要严格地
小于分块矩阵(A B)的秩
所以方程AX=B无解
下面我们给出的例子
是A不可逆
但是有解的情形
例2 设(A B)是
这样的两个三阶矩阵
请求矩阵方程AX=B中的
未知矩阵X
同样 我们用Gauss消元法
将增广的分块矩阵(A B)
化为简化的阶梯型
此时我们会发现两个主元
也即黄色标记的
两个1落在左半部分
因此矩阵方程有解
进一步
由于主元素个数
等于2小于A的列数3
所以整个方程有无穷多组
且前两个变量也即
x1和x2为主变量
第三个变量为自由变量
从而根据上述
简化阶梯型矩阵橘色的部分
我们可以写出导出组的基础解系
就是这样子的一个向量
那么根据上述
简化阶梯型矩阵的右半部分
我们就可以得到三个特解
分别是这三个向量
因此对应三个
线性方程组的通解
分别是这个样子
其中t1 t2 t3为任意实数
由于矩阵方程可以看做
3个独立的非齐次线性方程组
它们通解中任意常数
相互之间没有关联
所以用不同的符号表示
最终把它合并起来
就得到未知矩阵X的通解
是这个样子的
其中t1 t2和t3跑遍所有实数
本讲小结
在本讲当中 我们讨论了
形如AX=B的矩阵方程
这样的方程实际上是
线性方程组的推广
我们通过把这样的方程
转化成若干个线性方程组
从而给出了
矩阵方程解的情况的判断法则
进一步
我们把s个求解过程合并成
1个过程给出了
矩阵方程的求解步骤
本章小结
在本章当中 我们讨论了
线性方程组相关的更多问题
第一 我们利用矩阵的秩
更加直接地给出了
线性方程组的解的情况的判则
第二 我们讨论了
线性方程组在有无穷解时
其解集合的结构
分为 齐次线性方程组
构成一个子空间
而非齐次线性方程组的
解的结构
为齐次线性方程组解集的平移
进一步我们讨论了
线性方程组的几何意义
包括线性方程组的行图与列图
最后 我们把线性方程组
推广到了形如AX=B的矩阵方程
并且利用Gauss消元法给出了
此类矩阵方程解的情况的判则
以及求解方法
对于线性方程组
我们还有一个遗留的问题
也就是当方程组无解的时候
如何给出一个近似解
这个问题我们将在
后边的章节给出讨论
好 我们本章的内容就到这儿
再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
