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欢迎大家进入MOOC课程：线性代数-先修课

第二章 行列式

2.5节 行列式的计算1

在本讲当中

我们将用举例的方法说明

如何利用行列式的性质

对行列式进行化简和计算

我们主要的思想有两个

一个就是利用初等变换

将行列式当中

尽量多的位置进行化零

我们形象地把它叫做打洞法

另外一个就是

利用行或者是列的拆项法

把行列式化成同阶的

若干个行列式的和

好 首先我们先来回顾一下

上一讲当中

介绍过的行列式的一些性质

1 转置不变性

也就是行列等价

2 逐行或者是逐列保加法

从此 我们可以得到拆项法则

3 逐行或者是逐列保数乘

4 交错性

也就是 对换两行或者两列之后

行列式的值取负号

5 倍加不变性

其中 第3第4和第5条

分别对应了

我们3种初等行变换

对行列式的影响

也是我们计算行列式当中

最常用的方法

另外 通过上面5条性质

我们还可以得到下面3条推论

分别是 零行得零

同行化零 以及同比化零

下面 我们进入例题

通过例题的分析

介绍如何利用上述性质

对行列式进行化简

首先 我们先来看例1

这是一个四阶行列式

那么 我们的方法

就是通过初等行变换

将这个四阶行列式化成三角行列式

第一步

我们先用第1行加到第2行上

以及第1行的-2倍加到第4行上

将第1列的这些位置

也就是红框里的位置

把它化零

我们形象地把它叫成“打洞”

第二步

把第3行加到第4行上

可以使得第2列的最后一个位置把他化零

再进一步

我们交换一下第2行和第3行的位置

使之主元素 移到第2行上

当然 最后一步

我们把第3行的适当倍数

加到第4行上

使得第3列的最后一个位置化零

于是 我们就得到了一个三角行列式

而三角行列式的计算

只需要将主对角线上的元素逐位相乘

就得到了我们最终的计算结果

为-3

例2

我们再来看一个n阶行列式

我们把它记作D_n

大家观察一下

这个行列式有什么样的特点

好

也许你已经发现了

这个行列式的每一行上面

都有一个a和(n-1)个b

如果我们把每一行的元素求和

它的每个行和都等于a+(n-1)b

于是 我们的操作方法

就是把第2到第n列

都加到第1列上

于是 就可以提出公因子

然后

将第1行的(-1)倍加到其余各行

即可达到化简行列式的目的

好 我们具体来看

首先 我们把第2列到第n列

都加到第一列上

再把第一列上边这个行和提出来

于是 我们得到了一个全1的列

第二步

我们将第一行的适当倍数

加到第2到第n行上

于是

就可以将行列式整个地

化成一个三角行列式

最后

我们利用三角行列式的性质

就可以得到最终的计算结果

是这样子

我们做一个说明

对行和或者是列和固定的行列式

这样的方法是通用的

那么 利用上述思想

请大家思考以下两个练习

那么 你观察一下

这两个n阶行列式

实际上都是行和或者是列和

固定的行列式

因此

上述方法可以在

这两个行列式当中得到应用

例3 计算下面的行列式

其中

主对角线上面的元素

a_1一直到a_n不等于0

请大家观察一下这个行列式

我们会发现

这个行列式除了第一行 第一列

以及主对角线上的元素之外

其他位置上全都为零

当我们把这些非零位置用红线标记以后

就可以形象地看到

一个箭头一样的形状

于是

我们就把这样的行列式

称为箭形行列式

下面

我们再来分析一下这个箭形行列式

D的角标(n+1)实际上的

给了我们一个提示

这是一个(n+1)阶的行列式

那么 我们再来看一下

那么 这个行列式离三角行列式

已经很接近了

我们的目的就是通过初等变换

将红框里的这些位置化零

于是 它就变成了一个三角行列式

对于箭形行列式

我们有固定的方法

也就是把第(i+1)列的

(-c_1)除以a_1倍加到第1列上

其中i从1一直到n

这样就可以把行列式化为三角行列式

经过上述操作

我们就可以把第1列下边的这些位置化零

其中 我们用到一个性质

就是a_1到a_n不等于零

于是 这些a_i才能放到分母上

当然 对于这个三角行列式

我们很容易求出它的值

计算结果如下

当然 我们引入新到符号之后

可以把这个结果表示地更简洁一些

其中这里的a_i一飘

等于所有的a_1到a_n乘积之后

再除以a_i

于是 我们就完成了例3的计算过程

好

我们前边的每道例题

都讲解了一种行列式计算的典型方法

下面我们来看例4

例4 是一个n阶的含参的行列式

请大家观察一下

这个行列式有什么样的特点

好 我们来分析

那么 这个行列式里边

每一项当中都含有一个1

除此之外

主对角线上每项上还有一个a_i的加项

那么 请大家思考

我们应该如何利用这个特点

好 对于本题

我们给出两种解法

首先 先来看解法一

根据上述特点

我们把这个行列式的第2

到第n行均减第1行

即可化成箭形行列式

那么利用箭形行列式的标准处理方法

我们把第2到第n行的适当倍数都加到第1列上

即可将第1列下方的位置化零

于是 得到了一个三角行列式

对于这个三角行列式

很容易计算出这个行列式的结果

最后做适当变形得到这样的结果

下面 我们给出另一种方法

首先 我们将除了主对角线以外的

其他的每一项上的1

改写成1+0的形式

于是 行列式就可以表示成这样的形式

那么 大家观察一下这个行列式

我们特别地把每一项右边的加项

用黄色的表示

于是 我们就可以看到

这个行列式的每一列

都可以拆成白色的一列

再加上黄色的一列

那么 根据我们的拆项法则

这个行列式就可以拆成

(2^n)个同阶行列式求和

可是 这(2^n)个同阶行列式当中

大多数都会等于零

因为它如果不等于零

则它最多只能含有一个全1的列

如果它含有两个全1以上的列

它必然会等于零

那么 基于这样的思想

我们就知道

只有如下的n+1个行列式

是非零的

那么对于这n+1个行列式

我们根据行列式的定义

即选取不同行不同列的元素相乘

根据这样的原则

我们就可以很容易地计算出

这n+1个行列式的值如下

最后

合并整理之后就可以得到

与解法一相同的结论

在本讲当中

我们通过对例题的讨论

介绍了如何利用性质计算行列式

我们的典型方法有

1 利用定义直接计算

这种方法适用于非零元素较少的情况

一般非零项不超过2n个

2 打洞法

也就是利用初等变换

把行列式当中尽量多的位置化零

最好化成三角阵或者是对角阵等

3 行或者是列的拆项法

通过行列式的行或者是列的

加法拆分把原行列式拆分成2的方幂个

易于计算的行列式之和

4 一些典型的行列式的类型

如: 行和固定行列式

以及箭形行列式等

很多情况下

计算一个行列式的方法并不唯一

有时候还需要综合利用各种方法

利用初等变换设法将行列式化为三角行列式

是我们最基本的思路

如果很难将其化成三角行列式

则可采用拆项法 升阶法 归纳法

递推关系法等

更多方法的学习

需要利用下一讲

我们介绍的行列式的展开公式

好 我们本讲的内容就到这儿

我们下讲再见